Номер 4.6, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.6, страница 28.

4.6. Вычислите корень n-й степени:

а) $\sqrt[4]{16};$

б) $\sqrt[5]{32};$

в) $\sqrt[4]{81};$

г) $\sqrt[3]{64}.$

а) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 16, или $\sqrt[4]{16}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень будет равно 16.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда по определению корня $n$-й степени, должно выполняться равенство $x^4 = 16$.

Наша задача — представить число 16 в виде степени с показателем 4. Мы знаем, что $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Таким образом, выражение можно переписать следующим образом: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для неотрицательных $a$), получаем: $\sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2

---

б) Для вычисления корня пятой степени из 32, или $\sqrt[5]{32}$, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень даст 32.

Пусть это число равно $x$. Тогда, по определению, $x^5 = 32$.

Представим число 32 в виде степени с показателем 5. Разложим 32 на множители: $32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2^4 = 2^5$.

Следовательно, мы можем записать: $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5}$.

По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем: $\sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: 2

---

в) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, или $\sqrt[4]{81}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 81.

Пусть это число равно $x$. Тогда, по определению, $x^4 = 81$.

Представим число 81 в виде степени с показателем 4. Мы знаем, что $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$.

Таким образом, исходное выражение равносильно: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4}$.

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для неотрицательных $a$), находим: $\sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

---

г) Для вычисления корня третьей степени (кубического корня) из 64, или $\sqrt[3]{64}$, нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст 64.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда, по определению, $x^3 = 64$.

Представим число 64 в виде степени с показателем 3. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, выражение можно переписать так: $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3}$.

По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем: $\sqrt[3]{4^3} = 4$.

Ответ: 4