Номер 3.32, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.32, страница 27.

3.32. Найдите, если это возможно, такие целые числа a, b, c и d, что для всех значений x выполняется равенство:

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

в) $x^4 - 5x^2 + 6x - 5 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

г) $x^4 - 5x - 6 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$.

а)

Для того чтобы найти целые числа $a, b, c$ и $d$, раскроем скобки в правой части равенства и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$.

$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$

Сравнивая это выражение с многочленом $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1$, получаем систему уравнений:

$a+c = 1$ (коэффициент при $x^3$)
$b+d+ac = -4$ (коэффициент при $x^2$)
$ad+bc = -1$ (коэффициент при $x$)
$bd = 1$ (свободный член)

Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, из уравнения $bd=1$ следует, что возможны два случая: $b=1, d=1$ или $b=-1, d=-1$.

Случай 1: $b=1, d=1$.
Подставим эти значения в третье уравнение: $a(1)+c(1) = -1$, то есть $a+c=-1$.
Однако из первого уравнения системы мы знаем, что $a+c=1$. Получаем противоречие $1=-1$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $b=-1, d=-1$.
Подставим эти значения в третье уравнение: $a(-1)+c(-1) = -1$, то есть $-a-c=-1$, или $a+c=1$. Это соответствует первому уравнению системы.
Теперь подставим $b$ и $d$ во второе уравнение: $(-1)+(-1)+ac = -4$, откуда $-2+ac=-4$ и $ac=-2$.
Таким образом, для $a$ и $c$ имеем систему:
$a+c = 1$
$ac = -2$
Согласно теореме Виета, $a$ и $c$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+c)t + ac = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
Получаем $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Так как $a$ и $c$ должны быть целыми, мы можем выбрать $a=2, c=-1$ или $a=-1, c=2$. Оба варианта подходят.
Выберем один из вариантов: $a=2, c=-1$.
Итак, мы нашли набор целых чисел: $a=2, b=-1, c=-1, d=-1$.

Ответ: $a=2, b=-1, c=-1, d=-1$.

б)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 + x^2 - 4x - 3$, получаем систему:

$a+c = 0$
$b+d+ac = 1$
$ad+bc = -4$
$bd = -3$

Из первого уравнения $c=-a$. Из четвертого, так как $b$ и $d$ целые, возможны следующие пары $(b, d)$: $(1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$.

Проверим эти случаи.
Случай 1: $b=1, d=-3$.
Подставляем во второе уравнение: $1+(-3)+a(-a) = 1 \implies -2-a^2=1 \implies a^2=-3$. Нет целых решений для $a$.
Случай 2: $b=-1, d=3$.
Подставляем во второе уравнение: $-1+3+a(-a) = 1 \implies 2-a^2=1 \implies a^2=1$. Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Если $a=1$, то $c=-1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (1)(3)+(-1)(-1) = 3+1 = 4$. Нам нужно $-4$, так что это не подходит.
Если $a=-1$, то $c=1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (-1)(3)+(-1)(1) = -3-1 = -4$. Это соответствует условию.
Таким образом, мы нашли решение: $a=-1, b=-1, c=1, d=3$.

Ответ: $a=-1, b=-1, c=1, d=3$.

в)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 - 5x^2 + 6x - 5$, получаем систему:

$a+c = 0$
$b+d+ac = -5$
$ad+bc = 6$
$bd = -5$

Из $a+c=0$ следует $c=-a$. Из $bd=-5$ для целых $b$ и $d$ возможны пары: $(1, -5), (-1, 5), (5, -1), (-5, 1)$.

Проверим эти случаи.
Случай 1: $b=1, d=-5$.
Подставляем во второе уравнение: $1+(-5)+a(-a) = -5 \implies -4-a^2=-5 \implies a^2=1$. Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Если $a=1$, то $c=-1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (1)(-5)+(1)(-1) = -5-1 = -6$. Нам нужно $6$, не подходит.
Если $a=-1$, то $c=1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (-1)(-5)+(1)(1) = 5+1 = 6$. Это соответствует условию.
Таким образом, мы нашли решение: $a=-1, b=1, c=1, d=-5$.

Ответ: $a=-1, b=1, c=1, d=-5$.

г)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 - 5x - 6$, получаем систему:

1) $a+c = 0$
2) $b+d+ac = 0$
3) $ad+bc = -5$
4) $bd = -6$

Из уравнения (1) следует $c=-a$. Подставим это в уравнения (2) и (3):
2) $b+d-a^2 = 0 \implies a^2 = b+d$
3) $ad+b(-a) = -5 \implies a(d-b) = -5$
Так как $a, b, d$ — целые числа, из уравнения $a(d-b)=-5$ следует, что $a$ является делителем числа $-5$. Таким образом, $a \in \{1, -1, 5, -5\}$.

Рассмотрим возможные значения $a$.
Случай 1: $a=1$.
Тогда из $a(d-b)=-5$ получаем $d-b=-5$.
Из $a^2=b+d$ получаем $1^2=b+d$, то есть $b+d=1$.
Решаем систему для $b$ и $d$:
$d-b=-5$
$d+b=1$
Сложив уравнения, получим $2d=-4$, откуда $d=-2$.
Подставив $d=-2$ во второе уравнение, получим $b-2=1$, откуда $b=3$.
Проверим четвертое уравнение исходной системы: $bd = (3)(-2) = -6$. Условие выполняется.
Мы нашли решение: $a=1, b=3, d=-2$. Поскольку $c=-a$, то $c=-1$.
Итак, $a=1, b=3, c=-1, d=-2$.

Ответ: $a=1, b=3, c=-1, d=-2$.