Номер 3.31, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.31, страница 27.

3.31. Докажите, что если функция $y = f(x)$ выпукла вверх (вниз) на $\mathbb{R}$, то уравнение $f(x) = ax + b$ имеет не более двух корней, и решите уравнение:

a) $x^4 = 15x - 14$;

б) $x^{10} = 1023x - 1022$.

Сначала докажем общее утверждение. Пусть функция $y = f(x)$ является строго выпуклой вниз (convex) на всей числовой прямой $R$. Это означает, что для любых двух различных точек $x_1$ и $x_2$ из $R$ и любого числа $t \in (0, 1)$ выполняется строгое неравенство $f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$.

Рассмотрим уравнение $f(x) = ax + b$. Его корни являются нулями функции $g(x) = f(x) - (ax + b)$. Покажем, что функция $g(x)$ также является строго выпуклой вниз. Функция $h(x) = -ax - b$ является линейной, а следовательно, выпуклой (для нее неравенство выпуклости выполняется как равенство). Сумма строго выпуклой функции $f(x)$ и выпуклой функции $h(x)$ является строго выпуклой функцией. Таким образом, $g(x)$ — строго выпуклая вниз функция.

Предположим от противного, что уравнение $g(x) = 0$ имеет по крайней мере три различных корня: $x_1 < x_2 < x_3$. Это означает, что $g(x_1) = g(x_2) = g(x_3) = 0$. Поскольку $x_1 < x_2 < x_3$, точку $x_2$ можно представить как выпуклую комбинацию $x_1$ и $x_3$: $x_2 = t x_3 + (1-t) x_1$ для некоторого $t = \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1} \in (0, 1)$. Из определения строгой выпуклости для функции $g(x)$ следует: $g(x_2) = g(t x_3 + (1-t) x_1) < t g(x_3) + (1-t) g(x_1)$. Подставляя известные значения $g(x_1)=0$, $g(x_2)=0$, $g(x_3)=0$, получаем: $0 < t \cdot 0 + (1-t) \cdot 0$, что приводит к неверному неравенству $0 < 0$.

Полученное противоречие означает, что наше предположение о существовании трех различных корней неверно. Следовательно, уравнение $g(x) = 0$, а значит и исходное уравнение $f(x) = ax + b$, имеет не более двух корней.

Аналогичное доказательство проводится для функции, выпуклой вверх (concave). В этом случае функция $g(x)$ будет строго выпуклой вверх, и из определения ($g(x_2) > t g(x_3) + (1-t) g(x_1)$) мы придем к противоречию $0 > 0$. Таким образом, утверждение доказано.

Теперь решим уравнения, используя этот результат.

а) $x^4 = 15x - 14$

Данное уравнение имеет вид $f(x) = ax + b$, где $f(x) = x^4$, $a = 15$, $b = -14$. Исследуем функцию $f(x) = x^4$ на выпуклость. Найдем ее вторую производную: $f'(x) = 4x^3$ $f''(x) = 12x^2$ Так как $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ для всех $x \in R$ и $f''(x)=0$ только в одной точке $x=0$, функция $f(x) = x^4$ является строго выпуклой вниз на $R$. Согласно доказанному выше, это уравнение может иметь не более двух корней.

Найдем корни методом подбора. Проверим небольшие целые значения. При $x=1$: левая часть $1^4 = 1$, правая часть $15 \cdot 1 - 14 = 1$. Равенство $1=1$ верно, следовательно, $x=1$ — корень уравнения. При $x=2$: левая часть $2^4 = 16$, правая часть $15 \cdot 2 - 14 = 30 - 14 = 16$. Равенство $16=16$ верно, следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Мы нашли два различных корня. Поскольку их общее число не может превышать двух, это все решения уравнения.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

б) $x^{10} = 1023x - 1022$

Уравнение имеет вид $f(x) = ax + b$, где $f(x) = x^{10}$, $a = 1023$, $b = -1022$. Исследуем функцию $f(x) = x^{10}$ на выпуклость, найдя ее вторую производную: $f'(x) = 10x^9$ $f''(x) = 90x^8$ Так как $f''(x) = 90x^8 \ge 0$ для всех $x \in R$ и $f''(x)=0$ только в точке $x=0$, функция $f(x) = x^{10}$ является строго выпуклой вниз на $R$. Следовательно, данное уравнение имеет не более двух корней.

Найдем корни подбором. При $x=1$: левая часть $1^{10} = 1$, правая часть $1023 \cdot 1 - 1022 = 1$. Равенство $1=1$ верно, значит, $x=1$ — корень. Проверим $x=2$: Левая часть: $2^{10} = 1024$. Правая часть: $1023 \cdot 2 - 1022 = 2046 - 1022 = 1024$. Равенство $1024=1024$ верно, значит, $x=2$ также является корнем.

Мы нашли два различных корня. В силу доказанного утверждения, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.