Номер 3.28, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.28, страница 26.

3.28. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет три различных целых корня:

a) $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$;

б) $p(x) = bx^3 + ax^2 + x + 2$.

а) Пусть $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$. По условию, многочлен имеет три различных целых корня. Обозначим их $x_1, x_2, x_3$.

Если многочлен имеет корни $x_1, x_2, x_3$, его можно представить в виде $p(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Раскроем скобки:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.

Приравнивая коэффициенты этого многочлена и исходного многочлена $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$, получаем систему уравнений (формулы Виета):
$a = -(x_1 + x_2 + x_3)$
$b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$2 = -x_1x_2x_3$ или $x_1x_2x_3 = -2$.

Так как корни $x_1, x_2, x_3$ — различные целые числа, из третьего уравнения следует, что они являются делителями числа -2. Целые делители числа -2 это $\{-2, -1, 1, 2\}$. Нам нужно выбрать три различных числа из этого множества, произведение которых равно -2.

Единственный способ получить произведение -2 из трех различных целых чисел — это перемножить $1, -1$ и $2$. Действительно, $|x_1x_2x_3| = 2$. Чтобы произведение модулей трех различных целых чисел было равно 2, их модули должны быть $1, 1, 2$. Но так как числа различны, это возможно, только если два из них — это $1$ и $-1$. Тогда третий корень $x_3$ находится из уравнения $(1)(-1)x_3 = -2$, откуда $x_3 = 2$.

Итак, множество корней однозначно определено: $\{1, -1, 2\}$. Теперь найдем соответствующие значения параметров $a$ и $b$:
$a = -(1 + (-1) + 2) = -2$
$b = (1)(-1) + (1)(2) + (-1)(2) = -1 + 2 - 2 = -1$

Ответ: $a = -2, b = -1$.

---

б) Пусть $p(x) = bx^3 + ax^2 + x + 2$. По условию, многочлен имеет три различных целых корня $x_1, x_2, x_3$.

Так как у многочлена третьей степени три корня, старший коэффициент $b$ не может быть равен нулю. Многочлен можно представить в виде $p(x) = b(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты к исходному многочлену:
$b(x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - x_1x_2x_3) = bx^3 + ax^2 + x + 2$.

Получаем систему уравнений:
$a = -b(x_1 + x_2 + x_3)$
$1 = b(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$
$2 = -b(x_1x_2x_3)$

Обозначим элементарные симметрические многочлены от корней: $S_1 = x_1+x_2+x_3$, $S_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, $S_3 = x_1x_2x_3$. Так как корни — целые числа, $S_1, S_2, S_3$ также являются целыми числами.
Система принимает вид:
$a = -bS_1$
$1 = bS_2$
$2 = -bS_3$

Из второго уравнения выразим $b = 1/S_2$ (поскольку $b \ne 0$, то $S_2 \ne 0$). Подставим это в третье уравнение:
$2 = -(1/S_2)S_3 \implies 2S_2 = -S_3 \implies S_3 = -2S_2$.

Подставим выражения для $S_2$ и $S_3$:
$x_1x_2x_3 = -2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$.
Корни не могут быть равны нулю, так как свободный член многочлена равен 2. Разделим обе части на $x_1x_2x_3$:
$1 = -2(\frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1})$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех троек различных ненулевых целых чисел $\{x_1, x_2, x_3\}$, удовлетворяющих этому уравнению. Каждая такая тройка определяет единственную пару параметров $(a, b)$ по формулам:
$b = \frac{1}{S_2} = \frac{1}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$
$a = -bS_1 = \frac{-(x_1+x_2+x_3)}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$

Данное диофантово уравнение имеет бесконечно много решений. Приведем некоторые из них.

• Рассмотрим тройку $\{1, -1, -2\}$. Проверим: $\frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \frac{1}{-2} = 1 - 1 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Это решение. Для этих корней: $S_1 = 1-1-2=-2$, $S_2 = (1)(-1)+(1)(-2)+(-1)(-2) = -1-2+2 = -1$. Тогда $b = 1/(-1) = -1$ и $a = -(-2)/(-1) = -2$. Параметры $(a,b)$ в этом случае целые.
• Рассмотрим семейство решений вида $\{k, -k, -2\}$ для любого целого $k$, такого что корни различны, то есть $k \notin \{0, 2, -2\}$. Проверка: $\frac{1}{k} + \frac{1}{-k} + \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Для этих корней: $S_1 = k-k-2 = -2$, $S_2 = k(-k)+k(-2)+(-k)(-2) = -k^2-2k+2k = -k^2$. Параметры: $b = -1/k^2$, $a = -(-2)/(-k^2) = -2/k^2$. Например, при $k=3$ корни $\{3, -3, -2\}$, а параметры $a=-2/9, b=-1/9$.
• Рассмотрим тройку $\{3, 6, -1\}$. Проверим: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{1} = \frac{2+1}{6} - 1 = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$. Это решение. Для этих корней: $S_1 = 3+6-1=8$, $S_2 = 18-3-6=9$. Параметры: $b=1/9$, $a=-8/9$.

Таким образом, существует бесконечное множество значений параметров $a$ и $b$.

Ответ: все пары $(a,b)$ вида $a = \frac{-(x_1+x_2+x_3)}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$ и $b = \frac{1}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$, где $\{x_1, x_2, x_3\}$ — любое множество трех различных ненулевых целых чисел, удовлетворяющих уравнению $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}$. В частности, если $a$ и $b$ — целые, то решение единственно: $a=-2, b=-1$.