Номер 3.21, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.21, страница 25.

3.21. Найдите рациональные корни уравнения:

а) $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1 = 0;$

б) $2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0;$

в) $27x^3 + 9x^2 + 3x - 3 = 0;$

г) $16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5 = 0.$

а) $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1 = 0$
Для нахождения рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь $x = p/q$ является корнем уравнения, то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0=1$), а знаменатель $q$ – делителем старшего коэффициента ($a_3=2$).
Делители свободного члена $a_0 = 1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{ 1, 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
Пусть $P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 5x + 1$.
$P(1) = 2(1)^3 + 7(1)^2 + 5(1) + 1 = 15 \neq 0$.
$P(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 + 5(-1) + 1 = -2 + 7 - 5 + 1 = 1 \neq 0$.
$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + 7(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} + \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = \frac{22}{4} \neq 0$.
$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 7(\frac{1}{4}) + 5(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{7}{4} - \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = \frac{-1+7-10+4}{4} = 0$.
Итак, $x = -1/2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1$ на двучлен $(2x+1)$ (что эквивалентно делению на $(x+1/2)$).
$(2x^3 + 7x^2 + 5x + 1) : (2x + 1) = x^2 + 3x + 1$.
Уравнение принимает вид: $(2x+1)(x^2 + 3x + 1) = 0$.
Один корень $x_1 = -1/2$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2-4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Эти корни являются иррациональными.
Следовательно, единственный рациональный корень уравнения - это $x = -1/2$.
Ответ: $-1/2$.

б) $2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0$
Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_4 = 2$: $q \in \{ 1, 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим подстановкой:
Пусть $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1$.
$P(1) = 2 + 7 - 3 - 5 - 1 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ – корень.
Разделим многочлен на $(x-1)$: $(2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1) : (x-1) = 2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$.
Теперь решаем уравнение $2x^3 + 9x^2 + 6x + 1 = 0$.
Возможные рациональные корни для этого кубического уравнения те же: $\{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим их для нового многочлена $Q(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$:
$Q(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 9(\frac{1}{4}) + 6(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - \frac{12}{4} + \frac{4}{4} = 0$. Значит, $x_2 = -1/2$ – корень.
Разделим $2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$ на $(2x+1)$: $(2x^3 + 9x^2 + 6x + 1) : (2x+1) = x^2 + 4x + 1$.
Исходное уравнение можно записать как $(x-1)(2x+1)(x^2+4x+1) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 1 = 0$:
$D = b^2-4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Эти корни иррациональные.
Рациональными корнями являются только $x=1$ и $x=-1/2$.
Ответ: $1; -1/2$.

в) $27x^3 + 9x^2 + 3x - 3 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения: $9x^3 + 3x^2 + x - 1 = 0$.
Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_3 = 9$: $q \in \{ 1, 3, 9 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9} \}$.
Проверим подстановкой:
Пусть $P(x) = 9x^3 + 3x^2 + x - 1$.
$P(\frac{1}{3}) = 9(\frac{1}{27}) + 3(\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$. Значит, $x = 1/3$ – корень.
Разделим многочлен на $(3x-1)$: $(9x^3 + 3x^2 + x - 1) : (3x-1) = 3x^2 + 2x + 1$.
Уравнение принимает вид $(3x-1)(3x^2 + 2x + 1) = 0$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 + 2x + 1 = 0$:
$D = b^2-4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного трехчлена нет.
Следовательно, единственный рациональный корень - это $x=1/3$.
Ответ: $1/3$.

г) $16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5 = 0$
Делители свободного члена $a_0 = -5$: $p \in \{ \pm 1, \pm 5 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_4 = 16$: $q \in \{ 1, 2, 4, 8, 16 \}$.
Возможные рациональные корни - это дроби вида $p/q$. Начнем проверку с наиболее простых.
Пусть $P(x) = 16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5$.
$P(\frac{1}{2}) = 16(\frac{1}{16}) + 16(\frac{1}{8}) - 48(\frac{1}{4}) + 28(\frac{1}{2}) - 5 = 1 + 2 - 12 + 14 - 5 = 0$. Значит, $x = 1/2$ – корень.
Разделим многочлен на $(2x-1)$: $(16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5) : (2x-1) = 8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$.
Теперь решаем уравнение $8x^3 + 12x^2 - 18x + 5 = 0$.
Проверим для $Q(x) = 8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$ корень $x=1/2$ еще раз:
$Q(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{4}) - 18(\frac{1}{2}) + 5 = 1 + 3 - 9 + 5 = 0$. Значит, $x = 1/2$ – корень кратности как минимум 2.
Разделим $8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$ на $(2x-1)$: $(8x^3 + 12x^2 - 18x + 5) : (2x-1) = 4x^2 + 8x - 5$.
Исходное уравнение можно записать как $(2x-1)^2(4x^2+8x-5) = 0$.
Решим квадратное уравнение $4x^2 + 8x - 5 = 0$:
Воспользуемся формулой корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(4)(-5)}}{2(4)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{-8 \pm 12}{8}$.
$x_1 = \frac{-8+12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-8-12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$.
Оба корня квадратного уравнения являются рациональными.
Таким образом, рациональные корни исходного уравнения: $1/2$ (кратный корень) и $-5/2$.
Ответ: $1/2; -5/2$.