Номер 3.18, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.18, страница 25.

3.18. a) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0;$

б) $(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(5x - 7)^2 = 0;$

в) $(x^2 - x + 3)^2 - 3(x^2 - x + 3)(10x - 1) + 2(10x - 1)^2 = 0;$

г) $(2x^2 - x - 6)^2 - 3(2x^2 - x - 6)(x^2 + 10x - 6) + 2(x^2 + 10x - 6)^2 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0$.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений в скобках. Сделаем замену: пусть $A = 2x + 3$ и $B = 7x - 5$. Тогда уравнение принимает вид:

$A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители. Это квадратный трехчлен относительно $A$. Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Следовательно, выражение можно разложить на множители:

$(A - B)(A - 2B) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $A - B = 0 \implies A = B$

2) $A - 2B = 0 \implies A = 2B$

Подставим обратно исходные выражения и решим каждое уравнение.

Случай 1: $A = B$

$2x + 3 = 7x - 5$

$3 + 5 = 7x - 2x$

$8 = 5x$

$x_1 = 8/5 = 1.6$

Случай 2: $A = 2B$

$2x + 3 = 2(7x - 5)$

$2x + 3 = 14x - 10$

$3 + 10 = 14x - 2x$

$13 = 12x$

$x_2 = 13/12$

Ответ: $8/5; 13/12$.

б)

Исходное уравнение: $(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(5x - 7)^2 = 0$.

Обратим внимание, что $(5x - 7)^2 = (-(7 - 5x))^2 = (7 - 5x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(7 - 5x)^2 = 0$.

Это уравнение имеет ту же структуру $A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$, где $A = 3x - 2$ и $B = 7 - 5x$.

Решение сводится к двум случаям: $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$3x - 2 = 7 - 5x$

$3x + 5x = 7 + 2$

$8x = 9$

$x_1 = 9/8$

Случай 2: $A = 2B$

$3x - 2 = 2(7 - 5x)$

$3x - 2 = 14 - 10x$

$3x + 10x = 14 + 2$

$13x = 16$

$x_2 = 16/13$

Ответ: $9/8; 16/13$.

в)

Исходное уравнение: $(x^2 - x + 3)^2 - 3(x^2 - x + 3)(10x - 1) + 2(10x - 1)^2 = 0$.

Пусть $A = x^2 - x + 3$ и $B = 10x - 1$. Уравнение примет вид $A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$, что, как и в предыдущих случаях, равносильно совокупности $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$x^2 - x + 3 = 10x - 1$

$x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 121 - 16 = 105$

Корни: $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{105}}{2}$

Случай 2: $A = 2B$

$x^2 - x + 3 = 2(10x - 1)$

$x^2 - x + 3 = 20x - 2$

$x^2 - 21x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 441 - 20 = 421$

Корни: $x_{3,4} = \frac{21 \pm \sqrt{421}}{2}$

Ответ: $\frac{11 \pm \sqrt{105}}{2}; \frac{21 \pm \sqrt{421}}{2}$.

г)

Исходное уравнение: $(2x^2 - x - 6)^2 - 3(2x^2 - x - 6)(x^2 + 10x - 6) + 2(x^2 + 10x - 6)^2 = 0$.

Пусть $A = 2x^2 - x - 6$ и $B = x^2 + 10x - 6$. Уравнение снова сводится к решению совокупности уравнений $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$2x^2 - x - 6 = x^2 + 10x - 6$

$2x^2 - x^2 - x - 10x - 6 + 6 = 0$

$x^2 - 11x = 0$

$x(x - 11) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 11$.

Случай 2: $A = 2B$

$2x^2 - x - 6 = 2(x^2 + 10x - 6)$

$2x^2 - x - 6 = 2x^2 + 20x - 12$

$-x - 20x = -12 + 6$

$-21x = -6$

$x_3 = 6/21 = 2/7$

Ответ: $0; 11; 2/7$.