Номер 3.17, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.17, страница 25.

Решите уравнение:

3.17. a) $(x^2 - 7x + 13)^2 - (x - 3)(x - 4) = 1;$

б) $(x^2 - 2x - 1)^2 + 3(x - 1)^2 = 16;$

в) $(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 63;$

г) $(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 8x + 7) = 63.$

а)

Дано уравнение: $(x^2 - 7x + 13)^2 - (x - 3)(x - 4) = 1$.
Сначала раскроем произведение в скобках: $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$(x^2 - 7x + 13)^2 - (x^2 - 7x + 12) = 1$.
Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $t = x^2 - 7x + 12$.
Тогда выражение в первой скобке будет равно $x^2 - 7x + 13 = (x^2 - 7x + 12) + 1 = t + 1$.
Уравнение с новой переменной $t$ выглядит так:
$(t + 1)^2 - t = 1$
Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 2t + 1 - t = 1$
$t^2 + t = 0$
$t(t + 1) = 0$
Это дает нам два решения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1. При $t = 0$:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
2. При $t = -1$:
$x^2 - 7x + 12 = -1$
$x^2 - 7x + 13 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=4$.

Ответ: $3; 4$.

б)

Дано уравнение: $(x^2 - 2x - 1)^2 + 3(x - 1)^2 = 16$.
Преобразуем выражения в скобках, чтобы найти общую часть для замены.
Второе слагаемое: $3(x - 1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1)$.
Первое слагаемое: $(x^2 - 2x - 1)^2$.
Заметим, что в обоих слагаемых присутствует выражение $x^2 - 2x$. Удобно сделать замену, связанную с $(x-1)^2$.
Пусть $t = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Тогда $x^2 - 2x = t - 1$.
Теперь подставим это в первое слагаемое: $x^2 - 2x - 1 = (t - 1) - 1 = t - 2$.
Уравнение с новой переменной $t$ будет таким:
$(t - 2)^2 + 3t = 16$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 4 + 3t = 16$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену.
1. При $t = 4$:
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$
$x_1 = 3$
$x_2 = -1$
2. При $t = -3$:
$(x - 1)^2 = -3$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=-1$ и $x=3$.

Ответ: $-1; 3$.

в)

Дано уравнение: $(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 63$.
Сгруппируем множители так, чтобы после раскрытия скобок получить одинаковые выражения. Проверим суммы свободных членов: $-2 + 7 = 5$ и $1 + 4 = 5$. Значит, группируем $(x - 2)$ с $(x + 7)$ и $(x + 1)$ с $(x + 4)$.
$[(x - 2)(x + 7)][(x + 1)(x + 4)] = 63$
Раскроем скобки в каждой группе:
$(x^2 + 7x - 2x - 14)(x^2 + 4x + x + 4) = 63$
$(x^2 + 5x - 14)(x^2 + 5x + 4) = 63$
Введем замену: пусть $t = x^2 + 5x$.
Уравнение примет вид:
$(t - 14)(t + 4) = 63$
$t^2 + 4t - 14t - 56 = 63$
$t^2 - 10t - 119 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-119) = 100 + 476 = 576 = 24^2$.
$t = \frac{10 \pm 24}{2}$
$t_1 = \frac{10 + 24}{2} = 17$
$t_2 = \frac{10 - 24}{2} = -7$
Выполним обратную замену.
1. При $t = 17$:
$x^2 + 5x = 17 \implies x^2 + 5x - 17 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 25 + 68 = 93$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{93}}{2}$
2. При $t = -7$:
$x^2 + 5x = -7 \implies x^2 + 5x + 7 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Решения исходного уравнения: $x = \frac{-5 - \sqrt{93}}{2}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{93}}{2}$.

Ответ: $\frac{-5 - \sqrt{93}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{93}}{2}$.

г)

Дано уравнение: $(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 8x + 7) = 63$.
Разложим квадратные трехчлены на множители.
Для $x^2 - 2x - 8 = 0$, корни $x_1 = 4, x_2 = -2$. Значит, $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$.
Для $x^2 - 8x + 7 = 0$, корни $x_1 = 7, x_2 = 1$. Значит, $x^2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 4)(x + 2)(x - 1)(x - 7) = 63$.
Сгруппируем множители. Проверим суммы свободных членов: $-4 - 1 = -5$ и $2 - 7 = -5$. Группируем $(x - 4)$ с $(x - 1)$ и $(x + 2)$ с $(x - 7)$.
$[(x - 4)(x - 1)][(x + 2)(x - 7)] = 63$
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x - 14) = 63$
Введем замену: пусть $t = x^2 - 5x$.
$(t + 4)(t - 14) = 63$
$t^2 - 14t + 4t - 56 = 63$
$t^2 - 10t - 119 = 0$
Это уравнение уже было решено в пункте в). Его корни: $t_1 = 17$ и $t_2 = -7$.
Выполним обратную замену.
1. При $t = 17$:
$x^2 - 5x = 17 \implies x^2 - 5x - 17 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 25 + 68 = 93$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{93}}{2}$
2. При $t = -7$:
$x^2 - 5x = -7 \implies x^2 - 5x + 7 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Решения исходного уравнения: $x = \frac{5 - \sqrt{93}}{2}$ и $x = \frac{5 + \sqrt{93}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{93}}{2}; \frac{5 + \sqrt{93}}{2}$.