Номер 3.15, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.15, страница 24.

3.15. a) Пусть $x^2 + 5x + 4 = 17$.

Вычислите значение выражения $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$.

б) Решите уравнение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$, сгруппируем множители так, чтобы при их перемножении получить одинаковые части. Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$((x + 1)(x + 4)) \cdot ((x + 2)(x + 3))$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$

$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4) \cdot (x^2 + 5x + 6)$

Из условия задачи нам известно, что $x^2 + 5x + 4 = 17$.

Тогда второй множитель можно выразить через первый:

$x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 5x + 4) + 2 = 17 + 2 = 19$.

Теперь найдем значение всего выражения, перемножив полученные значения:

$17 \cdot 19 = 17 \cdot (20 - 1) = 340 - 17 = 323$.

Ответ: 323

б)

Используем преобразование, выполненное в пункте а). Уравнение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360$ можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 360$

Чтобы решить это уравнение, введем замену. Пусть $t = x^2 + 5x + 4$. Тогда $x^2 + 5x + 6 = t + 2$. Уравнение примет вид:

$t(t + 2) = 360$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2t - 360 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -360$ и $t_1 + t_2 = -2$. Подходят числа $18$ и $-20$.

$t_1 = 18$, $t_2 = -20$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Рассмотрим два случая.

1) $t_1 = 18$

$x^2 + 5x + 4 = 18$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

2) $t_2 = -20$

$x^2 + 5x + 4 = -20$

$x^2 + 5x + 24 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 25 - 96 = -71$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 2 и -7.

Ответ: 2; -7