Номер 3.12, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.12, страница 24.

3.12. a) $(2x + \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 12 = 0;$

б) $(2x - \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 4 = 0.$

а) $(2x + \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 12 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(2x + \frac{1}{x})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2x + \frac{1}{x}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) $2x + \frac{1}{x} = -4$
Умножим обе части уравнения на $x$ (по ОДЗ $x \neq 0$):
$2x^2 + 1 = -4x$
$2x^2 + 4x + 1 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D_x = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.
$\sqrt{D_x} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

2) $2x + \frac{1}{x} = 3$
Умножим обе части уравнения на $x$ (по ОДЗ $x \neq 0$):
$2x^2 + 1 = 3x$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$\sqrt{D_x} = 1$.
Корни: $x_3 = \frac{-(-3) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_4 = \frac{-(-3) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Все четыре найденных корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1}{2}; \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.

---

б) $(2x - \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 4 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Заметим, что выражения $(2x - \frac{1}{x})$ и $(2x + \frac{1}{x})$ связаны между собой.

Введем замену $y = 2x + \frac{1}{x}$.
Выразим $(2x - \frac{1}{x})^2$ через $y$.
Возведем $y$ в квадрат:
$y^2 = (2x + \frac{1}{x})^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}$
Отсюда можно выразить сумму квадратов: $4x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 4$.
Теперь раскроем квадрат разности:
$(2x - \frac{1}{x})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}$
Подставим сюда ранее найденное выражение для $4x^2 + \frac{1}{x^2}$:
$(2x - \frac{1}{x})^2 = (y^2 - 4) - 4 = y^2 - 8$.

Теперь подставим все в исходное уравнение:
$(y^2 - 8) + y - 4 = 0$
$y^2 + y - 12 = 0$

Мы получили такое же квадратное уравнение, как и в пункте а). Его корни: $y_1 = -4$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1) $2x + \frac{1}{x} = -4$
Это уравнение было решено в пункте а). Его корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

2) $2x + \frac{1}{x} = 3$
Это уравнение также было решено в пункте а). Его корни: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1}{2}; \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.