Номер 3.13, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.13, страница 24.

3.13. a) $(3x - \frac{2}{x})^2 + 3x - \frac{2}{x} - 2 = 0;$

б) $9x^2 + \frac{4}{x^2} + 3x - \frac{2}{x} - 14 = 0;$

В) $9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4 = 0;$

Г) $9x^4 - 3x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 0.$

а) $(3x - \frac{2}{x})^2 + 3x - \frac{2}{x} - 2 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью замены переменной. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Пусть $t = 3x - \frac{2}{x}$. Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. Если $t = 1$, то $3x - \frac{2}{x} = 1$.

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$3x^2 - 2 = x$

$3x^2 - x - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

2. Если $t = -2$, то $3x - \frac{2}{x} = -2$.

Умножим обе части на $x$:

$3x^2 - 2 = -2x$

$3x^2 + 2x - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.

Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$.

$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

б) $9x^2 + \frac{4}{x^2} + 3x - \frac{2}{x} - 14 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$. Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) + (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Используем ту же замену, что и в пункте а): $t = 3x - \frac{2}{x}$.

Чтобы выразить $(9x^2 + \frac{4}{x^2})$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$t^2 = (3x - \frac{2}{x})^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда $9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$.

Подставим это в сгруппированное уравнение:

$(t^2 + 12) + t - 14 = 0$

$t^2 + t - 2 = 0$

Мы получили то же самое квадратное уравнение для $t$, что и в пункте а). Следовательно, и решения для $x$ будут такими же.

Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

в) $9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как при подстановке получаем $4 = 0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$9x^2 + 3x - 14 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) + (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением из пункта б). Следовательно, оно имеет те же корни.

Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

г) $9x^4 - 3x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 0$

Так же, как и в пункте в), $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$9x^2 - 3x - 14 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) - (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Сделаем замену $t = 3x - \frac{2}{x}$. Как мы выяснили в пункте б), $9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 + 12) - t - 14 = 0$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, произведение равно $-2$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 2$, то $3x - \frac{2}{x} = 2$.

$3x^2 - 2 = 2x$

$3x^2 - 2x - 2 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$.

2. Если $t = -1$, то $3x - \frac{2}{x} = -1$.

$3x^2 - 2 = -x$

$3x^2 + x - 2 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_3 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$x_4 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $-1; \frac{2}{3}; \frac{1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$.