Номер 3.22, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.22, страница 25.

Решите уравнение:

3.22. а) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0;$

б) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24 = 0;$

в) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0;$

г) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) = 2.$

а) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена (числа 6). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Пусть $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Проверим $x = -1$:

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4(1) - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, то $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена на $(x+1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные корни:

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, мы нашли все три корня исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

б) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-24). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24$.

Пусть $P(x) = x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24$.

Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^3 + 4(-1)^2 - 24(-1) - 24 = 1 - 5 + 4 + 24 - 24 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Проверим $x = 2$: $P(2) = 2^4 + 5(2)^3 + 4(2)^2 - 24(2) - 24 = 16 + 5(8) + 4(4) - 48 - 24 = 16 + 40 + 16 - 48 - 24 = 72 - 72 = 0$.

Значит, $x_2 = 2$ также является корнем.

Раз мы нашли два корня, многочлен делится на $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$. Выполним деление многочлена $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24$ на $x^2 - x - 2$:

$(x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24) : (x^2 - x - 2) = x^2 + 6x + 12$.

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 + 6x + 12 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два действительных корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

в) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$

Это кубическое уравнение. Все коэффициенты положительны, значит, если у уравнения есть действительные корни, они могут быть только отрицательными. Найдем корни подбором среди отрицательных делителей свободного члена (15). Делители: $-1, -3, -5, -15$.

Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$.

Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен на $(x+1)$:

$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) : (x + 1) = x^2 + 8x + 15$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 15. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.

Таким образом, мы нашли все три корня исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -3, x_3 = -5$.

г) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) = 2$

Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + 2x + x^2 + 2) + (x^3 + x + 2x^2 + 2) = 2$

$x^3 + x^2 + 2x + 2 + x^3 + 2x^2 + x + 2 = 2$

$(x^3 + x^3) + (x^2 + 2x^2) + (2x + x) + (2 + 2) = 2$

$2x^3 + 3x^2 + 3x + 4 = 2$

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

$2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена (2), а $q$ - делитель старшего коэффициента (2).

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2}$.

Проверим $x = -1$:

$2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 2(-1) + 3(1) - 3 + 2 = -2 + 3 - 3 + 2 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ на $(x+1)$:

$(2x^3 + 3x^2 + 3x + 2) : (x + 1) = 2x^2 + x + 2$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.