Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

3.17. a) $(x^2 - 7x + 13)^2 - (x - 3)(x - 4) = 1;$

б) $(x^2 - 2x - 1)^2 + 3(x - 1)^2 = 16;$

в) $(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 63;$

г) $(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 8x + 7) = 63.$

а)

Дано уравнение: $(x^2 - 7x + 13)^2 - (x - 3)(x - 4) = 1$.
Сначала раскроем произведение в скобках: $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$(x^2 - 7x + 13)^2 - (x^2 - 7x + 12) = 1$.
Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $t = x^2 - 7x + 12$.
Тогда выражение в первой скобке будет равно $x^2 - 7x + 13 = (x^2 - 7x + 12) + 1 = t + 1$.
Уравнение с новой переменной $t$ выглядит так:
$(t + 1)^2 - t = 1$
Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 2t + 1 - t = 1$
$t^2 + t = 0$
$t(t + 1) = 0$
Это дает нам два решения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1. При $t = 0$:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
2. При $t = -1$:
$x^2 - 7x + 12 = -1$
$x^2 - 7x + 13 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=4$.

Ответ: $3; 4$.

б)

Дано уравнение: $(x^2 - 2x - 1)^2 + 3(x - 1)^2 = 16$.
Преобразуем выражения в скобках, чтобы найти общую часть для замены.
Второе слагаемое: $3(x - 1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1)$.
Первое слагаемое: $(x^2 - 2x - 1)^2$.
Заметим, что в обоих слагаемых присутствует выражение $x^2 - 2x$. Удобно сделать замену, связанную с $(x-1)^2$.
Пусть $t = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Тогда $x^2 - 2x = t - 1$.
Теперь подставим это в первое слагаемое: $x^2 - 2x - 1 = (t - 1) - 1 = t - 2$.
Уравнение с новой переменной $t$ будет таким:
$(t - 2)^2 + 3t = 16$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 4 + 3t = 16$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену.
1. При $t = 4$:
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$
$x_1 = 3$
$x_2 = -1$
2. При $t = -3$:
$(x - 1)^2 = -3$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=-1$ и $x=3$.

Ответ: $-1; 3$.

в)

Дано уравнение: $(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 63$.
Сгруппируем множители так, чтобы после раскрытия скобок получить одинаковые выражения. Проверим суммы свободных членов: $-2 + 7 = 5$ и $1 + 4 = 5$. Значит, группируем $(x - 2)$ с $(x + 7)$ и $(x + 1)$ с $(x + 4)$.
$[(x - 2)(x + 7)][(x + 1)(x + 4)] = 63$
Раскроем скобки в каждой группе:
$(x^2 + 7x - 2x - 14)(x^2 + 4x + x + 4) = 63$
$(x^2 + 5x - 14)(x^2 + 5x + 4) = 63$
Введем замену: пусть $t = x^2 + 5x$.
Уравнение примет вид:
$(t - 14)(t + 4) = 63$
$t^2 + 4t - 14t - 56 = 63$
$t^2 - 10t - 119 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-119) = 100 + 476 = 576 = 24^2$.
$t = \frac{10 \pm 24}{2}$
$t_1 = \frac{10 + 24}{2} = 17$
$t_2 = \frac{10 - 24}{2} = -7$
Выполним обратную замену.
1. При $t = 17$:
$x^2 + 5x = 17 \implies x^2 + 5x - 17 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 25 + 68 = 93$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{93}}{2}$
2. При $t = -7$:
$x^2 + 5x = -7 \implies x^2 + 5x + 7 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Решения исходного уравнения: $x = \frac{-5 - \sqrt{93}}{2}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{93}}{2}$.

Ответ: $\frac{-5 - \sqrt{93}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{93}}{2}$.

г)

Дано уравнение: $(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 8x + 7) = 63$.
Разложим квадратные трехчлены на множители.
Для $x^2 - 2x - 8 = 0$, корни $x_1 = 4, x_2 = -2$. Значит, $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$.
Для $x^2 - 8x + 7 = 0$, корни $x_1 = 7, x_2 = 1$. Значит, $x^2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 4)(x + 2)(x - 1)(x - 7) = 63$.
Сгруппируем множители. Проверим суммы свободных членов: $-4 - 1 = -5$ и $2 - 7 = -5$. Группируем $(x - 4)$ с $(x - 1)$ и $(x + 2)$ с $(x - 7)$.
$[(x - 4)(x - 1)][(x + 2)(x - 7)] = 63$
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x - 14) = 63$
Введем замену: пусть $t = x^2 - 5x$.
$(t + 4)(t - 14) = 63$
$t^2 - 14t + 4t - 56 = 63$
$t^2 - 10t - 119 = 0$
Это уравнение уже было решено в пункте в). Его корни: $t_1 = 17$ и $t_2 = -7$.
Выполним обратную замену.
1. При $t = 17$:
$x^2 - 5x = 17 \implies x^2 - 5x - 17 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 25 + 68 = 93$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{93}}{2}$
2. При $t = -7$:
$x^2 - 5x = -7 \implies x^2 - 5x + 7 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Решения исходного уравнения: $x = \frac{5 - \sqrt{93}}{2}$ и $x = \frac{5 + \sqrt{93}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{93}}{2}; \frac{5 + \sqrt{93}}{2}$.

3.18. a) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0;$

б) $(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(5x - 7)^2 = 0;$

в) $(x^2 - x + 3)^2 - 3(x^2 - x + 3)(10x - 1) + 2(10x - 1)^2 = 0;$

г) $(2x^2 - x - 6)^2 - 3(2x^2 - x - 6)(x^2 + 10x - 6) + 2(x^2 + 10x - 6)^2 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0$.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений в скобках. Сделаем замену: пусть $A = 2x + 3$ и $B = 7x - 5$. Тогда уравнение принимает вид:

$A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители. Это квадратный трехчлен относительно $A$. Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Следовательно, выражение можно разложить на множители:

$(A - B)(A - 2B) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $A - B = 0 \implies A = B$

2) $A - 2B = 0 \implies A = 2B$

Подставим обратно исходные выражения и решим каждое уравнение.

Случай 1: $A = B$

$2x + 3 = 7x - 5$

$3 + 5 = 7x - 2x$

$8 = 5x$

$x_1 = 8/5 = 1.6$

Случай 2: $A = 2B$

$2x + 3 = 2(7x - 5)$

$2x + 3 = 14x - 10$

$3 + 10 = 14x - 2x$

$13 = 12x$

$x_2 = 13/12$

Ответ: $8/5; 13/12$.

б)

Исходное уравнение: $(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(5x - 7)^2 = 0$.

Обратим внимание, что $(5x - 7)^2 = (-(7 - 5x))^2 = (7 - 5x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(3x - 2)^2 - 3(3x - 2)(7 - 5x) + 2(7 - 5x)^2 = 0$.

Это уравнение имеет ту же структуру $A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$, где $A = 3x - 2$ и $B = 7 - 5x$.

Решение сводится к двум случаям: $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$3x - 2 = 7 - 5x$

$3x + 5x = 7 + 2$

$8x = 9$

$x_1 = 9/8$

Случай 2: $A = 2B$

$3x - 2 = 2(7 - 5x)$

$3x - 2 = 14 - 10x$

$3x + 10x = 14 + 2$

$13x = 16$

$x_2 = 16/13$

Ответ: $9/8; 16/13$.

в)

Исходное уравнение: $(x^2 - x + 3)^2 - 3(x^2 - x + 3)(10x - 1) + 2(10x - 1)^2 = 0$.

Пусть $A = x^2 - x + 3$ и $B = 10x - 1$. Уравнение примет вид $A^2 - 3AB + 2B^2 = 0$, что, как и в предыдущих случаях, равносильно совокупности $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$x^2 - x + 3 = 10x - 1$

$x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 121 - 16 = 105$

Корни: $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{105}}{2}$

Случай 2: $A = 2B$

$x^2 - x + 3 = 2(10x - 1)$

$x^2 - x + 3 = 20x - 2$

$x^2 - 21x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 441 - 20 = 421$

Корни: $x_{3,4} = \frac{21 \pm \sqrt{421}}{2}$

Ответ: $\frac{11 \pm \sqrt{105}}{2}; \frac{21 \pm \sqrt{421}}{2}$.

г)

Исходное уравнение: $(2x^2 - x - 6)^2 - 3(2x^2 - x - 6)(x^2 + 10x - 6) + 2(x^2 + 10x - 6)^2 = 0$.

Пусть $A = 2x^2 - x - 6$ и $B = x^2 + 10x - 6$. Уравнение снова сводится к решению совокупности уравнений $A = B$ и $A = 2B$.

Случай 1: $A = B$

$2x^2 - x - 6 = x^2 + 10x - 6$

$2x^2 - x^2 - x - 10x - 6 + 6 = 0$

$x^2 - 11x = 0$

$x(x - 11) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 11$.

Случай 2: $A = 2B$

$2x^2 - x - 6 = 2(x^2 + 10x - 6)$

$2x^2 - x - 6 = 2x^2 + 20x - 12$

$-x - 20x = -12 + 6$

$-21x = -6$

$x_3 = 6/21 = 2/7$

Ответ: $0; 11; 2/7$.

3.19. а) $2y^4 - y^2(y - 2) - 3(y - 2)^2 = 0;$

б) $(x^2 + 6x - 9)^2 + x(x^2 + 4x - 9) = 0;$

в) $(t^2 + 2t)^2 - (t + 2)(2t^2 - t) = 6(2t - 1)^2;$

г) $(x^2 - 6x + 6)^2 - x^3 + 4x^2 - 6x = 0.$

а) $2y^4 - y^2(y - 2) - 3(y - 2)^2 = 0$

Заметим, что $y=2$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $2 \cdot 2^4 - 2^2(2-2) - 3(2-2)^2 = 32 \neq 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $(y - 2)^2$, так как это выражение не равно нулю.

$2\frac{y^4}{(y-2)^2} - \frac{y^2(y-2)}{(y-2)^2} - \frac{3(y-2)^2}{(y-2)^2} = 0$

$2\left(\frac{y^2}{y-2}\right)^2 - \frac{y^2}{y-2} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \frac{y^2}{y-2}$. Уравнение принимает вид:

$2z^2 - z - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $z$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$z_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1-5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $y$.

1. Если $z = \frac{3}{2}$:

$\frac{y^2}{y-2} = \frac{3}{2}$

$2y^2 = 3(y-2)$

$2y^2 - 3y + 6 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2. Если $z = -1$:

$\frac{y^2}{y-2} = -1$

$y^2 = -(y-2)$

$y^2 + y - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Ответ: $-2; 1$.

б) $(x^2 + 6x - 9)^2 + x(x^2 + 4x - 9) = 0$

Преобразуем выражение в первой скобке: $x^2 + 6x - 9 = (x^2 + 4x - 9) + 2x$.

Сделаем замену. Пусть $a = x^2 + 4x - 9$. Тогда уравнение примет вид:

$(a + 2x)^2 + xa = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 4ax + 4x^2 + ax = 0$

$a^2 + 5ax + 4x^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $a$.

Дискриминант $D = (5x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x^2) = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2$.

$a_1 = \frac{-5x + \sqrt{9x^2}}{2} = \frac{-5x + 3x}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$

$a_2 = \frac{-5x - \sqrt{9x^2}}{2} = \frac{-5x - 3x}{2} = \frac{-8x}{2} = -4x$

Вернемся к замене.

1. Если $a = -x$:

$x^2 + 4x - 9 = -x$

$x^2 + 5x - 9 = 0$

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25 + 36 = 61$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{61}}{2}$.

2. Если $a = -4x$:

$x^2 + 4x - 9 = -4x$

$x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = -9$.

Ответ: $-9; \frac{-5 - \sqrt{61}}{2}; 1; \frac{-5 + \sqrt{61}}{2}$.

в) $(t^2 + 2t)^2 - (t + 2)(2t^2 - t) = 6(2t - 1)^2$

Вынесем общие множители в левой части: $t^2 + 2t = t(t+2)$ и $2t^2 - t = t(2t-1)$.

$(t(t+2))^2 - (t+2)t(2t-1) = 6(2t-1)^2$

$t^2(t+2)^2 - t(t+2)(2t-1) = 6(2t-1)^2$

Заметим, что $t=1/2$ не является корнем уравнения. Значит, можно разделить обе части на $(2t-1)^2 \neq 0$.

$\frac{t^2(t+2)^2}{(2t-1)^2} - \frac{t(t+2)(2t-1)}{(2t-1)^2} = \frac{6(2t-1)^2}{(2t-1)^2}$

$\left(\frac{t(t+2)}{2t-1}\right)^2 - \frac{t(t+2)}{2t-1} - 6 = 0$

Сделаем замену. Пусть $u = \frac{t(t+2)}{2t-1} = \frac{t^2+2t}{2t-1}$. Уравнение примет вид:

$u^2 - u - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $u_1 = 3$ и $u_2 = -2$.

Вернемся к замене.

1. Если $u = 3$:

$\frac{t^2+2t}{2t-1} = 3 \implies t^2+2t = 3(2t-1) \implies t^2+2t = 6t-3 \implies t^2-4t+3=0$

Корни по теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 3$.

2. Если $u = -2$:

$\frac{t^2+2t}{2t-1} = -2 \implies t^2+2t = -2(2t-1) \implies t^2+2t = -4t+2 \implies t^2+6t-2=0$

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.

Корни: $t_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $-3 - \sqrt{11}; 1; 3; -3 + \sqrt{11}$.

г) $(x^2 - 6x + 6)^2 - x^3 + 4x^2 - 6x = 0$

Перенесем часть слагаемых вправо и вынесем $x$ за скобку:

$(x^2 - 6x + 6)^2 = x^3 - 4x^2 + 6x$

$(x^2 - 6x + 6)^2 = x(x^2 - 4x + 6)$

Заметим, что обе части уравнения можно выразить через два выражения: $A = x^2 - 5x + 6$ и $B = x$.

Левая часть: $x^2 - 6x + 6 = (x^2 - 5x + 6) - x = A - B$.

Правая часть: $x(x^2 - 4x + 6) = x((x^2 - 5x + 6) + x) = B(A + B)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(A - B)^2 = B(A + B)$

$A^2 - 2AB + B^2 = AB + B^2$

$A^2 - 3AB = 0$

$A(A - 3B) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $A = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

2. $A - 3B = 0 \implies A = 3B$

$x^2 - 5x + 6 = 3x$

$x^2 - 8x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}$.

Ответ: $2; 3; 4 - \sqrt{10}; 4 + \sqrt{10}$.

3.20. a) $(x + 2)^4 + x^4 = 82;$

б) $(5x - 3)^4 + (5x - 1)^4 = 82;$

в) $(x + 3)^4 + (x - 1)^4 = 32;$

г) $(5x + 3)^4 + (5x - 1)^4 = 32.$

a) $(x + 2)^4 + x^4 = 82$

Данное уравнение является симметричным. Введем замену, чтобы свести его к более простому виду. Пусть замена будет основана на среднем арифметическом выражений в скобках: $y = \frac{(x+2) + x}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.

Отсюда выразим $x$ и $x+2$ через $y$:

$x = y - 1$

$x + 2 = y + 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 82$

Раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$:

$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 82$

Сгруппируем подобные члены:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 82$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$2y^4 + 12y^2 - 80 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^4 + 6y^2 - 40 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 + 6z - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $z_1$ и $z_2$ должны удовлетворять условиям $z_1 + z_2 = -6$ и $z_1 \cdot z_2 = -40$. Подбором находим $z_1 = -10$ и $z_2 = 4$.

Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_1 = -10$ является посторонним.

Рассмотрим $z_2 = 4$:

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = x+1$:

1) Если $y = 2$, то $x + 1 = 2 \implies x = 1$.

2) Если $y = -2$, то $x + 1 = -2 \implies x = -3$.

Проверка подтверждает, что оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -3$.

б) $(5x - 3)^4 + (5x - 1)^4 = 82$

Это уравнение похоже на предыдущее. Введем замену, взяв за основу среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(5x-3) + (5x-1)}{2} = \frac{10x-4}{2} = 5x-2$.

Выразим $5x-3$ и $5x-1$ через $y$:

$5x-3 = y - 1$

$5x-1 = y + 1$

Подставим в уравнение:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 82$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для переменной $y$ из пункта а). Поэтому, мы уже знаем его решения:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Вернемся к переменной $x$, используя замену $y = 5x-2$:

1) Если $y = 2$, то $5x - 2 = 2 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$.

2) Если $y = -2$, то $5x - 2 = -2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$.

Проверка подтверждает, что оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{4}{5}$.

в) $(x + 3)^4 + (x - 1)^4 = 32$

Применим метод замены переменной. Пусть $y$ - среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(x+3) + (x-1)}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.

Выразим $x+3$ и $x-1$ через $y$:

$x+3 = (x+1)+2 = y+2$

$x-1 = (x+1)-2 = y-2$

Подставим в исходное уравнение:

$(y + 2)^4 + (y - 2)^4 = 32$

Раскроем скобки, используя общую формулу $(a+b)^4+(a-b)^4 = 2a^4+12a^2b^2+2b^4$. Здесь $a=y, b=2$:

$2y^4 + 12y^2(2^2) + 2(2^4) = 32$

$2y^4 + 12y^2 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 32$

$2y^4 + 48y^2 + 32 = 32$

Упростим уравнение:

$2y^4 + 48y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2y^2$ за скобки:

$2y^2(y^2 + 24) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2y^2 = 0 \implies y = 0$.

2) $y^2 + 24 = 0 \implies y^2 = -24$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственное действительное решение для $y$ - это $y=0$.

Вернемся к переменной $x$, используя замену $y = x+1$:

$x+1 = 0 \implies x = -1$.

Проверка подтверждает, что корень верен.

Ответ: $x = -1$.

г) $(5x + 3)^4 + (5x - 1)^4 = 32$

Снова используем метод замены переменной. Пусть $y$ - среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(5x+3) + (5x-1)}{2} = \frac{10x+2}{2} = 5x+1$.

Выразим $5x+3$ и $5x-1$ через $y$:

$5x+3 = (5x+1)+2 = y+2$

$5x-1 = (5x+1)-2 = y-2$

Подставим в исходное уравнение:

$(y+2)^4 + (y-2)^4 = 32$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для переменной $y$ из пункта в). Следовательно, его единственное действительное решение - это $y=0$.

Вернемся к переменной $x$ через замену $y=5x+1$:

$5x+1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$.

Проверка подтверждает, что корень верен.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$.

3.21. Найдите рациональные корни уравнения:

а) $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1 = 0;$

б) $2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0;$

в) $27x^3 + 9x^2 + 3x - 3 = 0;$

г) $16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5 = 0.$

а) $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1 = 0$
Для нахождения рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь $x = p/q$ является корнем уравнения, то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0=1$), а знаменатель $q$ – делителем старшего коэффициента ($a_3=2$).
Делители свободного члена $a_0 = 1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{ 1, 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
Пусть $P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 5x + 1$.
$P(1) = 2(1)^3 + 7(1)^2 + 5(1) + 1 = 15 \neq 0$.
$P(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 + 5(-1) + 1 = -2 + 7 - 5 + 1 = 1 \neq 0$.
$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + 7(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} + \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = \frac{22}{4} \neq 0$.
$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 7(\frac{1}{4}) + 5(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{7}{4} - \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = \frac{-1+7-10+4}{4} = 0$.
Итак, $x = -1/2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $2x^3 + 7x^2 + 5x + 1$ на двучлен $(2x+1)$ (что эквивалентно делению на $(x+1/2)$).
$(2x^3 + 7x^2 + 5x + 1) : (2x + 1) = x^2 + 3x + 1$.
Уравнение принимает вид: $(2x+1)(x^2 + 3x + 1) = 0$.
Один корень $x_1 = -1/2$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2-4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Эти корни являются иррациональными.
Следовательно, единственный рациональный корень уравнения - это $x = -1/2$.
Ответ: $-1/2$.

б) $2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0$
Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_4 = 2$: $q \in \{ 1, 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим подстановкой:
Пусть $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1$.
$P(1) = 2 + 7 - 3 - 5 - 1 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ – корень.
Разделим многочлен на $(x-1)$: $(2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1) : (x-1) = 2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$.
Теперь решаем уравнение $2x^3 + 9x^2 + 6x + 1 = 0$.
Возможные рациональные корни для этого кубического уравнения те же: $\{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим их для нового многочлена $Q(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$:
$Q(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 9(\frac{1}{4}) + 6(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - \frac{12}{4} + \frac{4}{4} = 0$. Значит, $x_2 = -1/2$ – корень.
Разделим $2x^3 + 9x^2 + 6x + 1$ на $(2x+1)$: $(2x^3 + 9x^2 + 6x + 1) : (2x+1) = x^2 + 4x + 1$.
Исходное уравнение можно записать как $(x-1)(2x+1)(x^2+4x+1) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 1 = 0$:
$D = b^2-4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Эти корни иррациональные.
Рациональными корнями являются только $x=1$ и $x=-1/2$.
Ответ: $1; -1/2$.

в) $27x^3 + 9x^2 + 3x - 3 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения: $9x^3 + 3x^2 + x - 1 = 0$.
Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_3 = 9$: $q \in \{ 1, 3, 9 \}$.
Возможные рациональные корни: $p/q \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9} \}$.
Проверим подстановкой:
Пусть $P(x) = 9x^3 + 3x^2 + x - 1$.
$P(\frac{1}{3}) = 9(\frac{1}{27}) + 3(\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$. Значит, $x = 1/3$ – корень.
Разделим многочлен на $(3x-1)$: $(9x^3 + 3x^2 + x - 1) : (3x-1) = 3x^2 + 2x + 1$.
Уравнение принимает вид $(3x-1)(3x^2 + 2x + 1) = 0$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 + 2x + 1 = 0$:
$D = b^2-4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного трехчлена нет.
Следовательно, единственный рациональный корень - это $x=1/3$.
Ответ: $1/3$.

г) $16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5 = 0$
Делители свободного члена $a_0 = -5$: $p \in \{ \pm 1, \pm 5 \}$.
Делители старшего коэффициента $a_4 = 16$: $q \in \{ 1, 2, 4, 8, 16 \}$.
Возможные рациональные корни - это дроби вида $p/q$. Начнем проверку с наиболее простых.
Пусть $P(x) = 16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5$.
$P(\frac{1}{2}) = 16(\frac{1}{16}) + 16(\frac{1}{8}) - 48(\frac{1}{4}) + 28(\frac{1}{2}) - 5 = 1 + 2 - 12 + 14 - 5 = 0$. Значит, $x = 1/2$ – корень.
Разделим многочлен на $(2x-1)$: $(16x^4 + 16x^3 - 48x^2 + 28x - 5) : (2x-1) = 8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$.
Теперь решаем уравнение $8x^3 + 12x^2 - 18x + 5 = 0$.
Проверим для $Q(x) = 8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$ корень $x=1/2$ еще раз:
$Q(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{4}) - 18(\frac{1}{2}) + 5 = 1 + 3 - 9 + 5 = 0$. Значит, $x = 1/2$ – корень кратности как минимум 2.
Разделим $8x^3 + 12x^2 - 18x + 5$ на $(2x-1)$: $(8x^3 + 12x^2 - 18x + 5) : (2x-1) = 4x^2 + 8x - 5$.
Исходное уравнение можно записать как $(2x-1)^2(4x^2+8x-5) = 0$.
Решим квадратное уравнение $4x^2 + 8x - 5 = 0$:
Воспользуемся формулой корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(4)(-5)}}{2(4)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{-8 \pm 12}{8}$.
$x_1 = \frac{-8+12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-8-12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$.
Оба корня квадратного уравнения являются рациональными.
Таким образом, рациональные корни исходного уравнения: $1/2$ (кратный корень) и $-5/2$.
Ответ: $1/2; -5/2$.

Решите уравнение:

3.22. а) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0;$

б) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24 = 0;$

в) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0;$

г) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) = 2.$

а) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена (числа 6). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Пусть $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Проверим $x = -1$:

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4(1) - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, то $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена на $(x+1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные корни:

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, мы нашли все три корня исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

б) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-24). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24$.

Пусть $P(x) = x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24$.

Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^3 + 4(-1)^2 - 24(-1) - 24 = 1 - 5 + 4 + 24 - 24 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Проверим $x = 2$: $P(2) = 2^4 + 5(2)^3 + 4(2)^2 - 24(2) - 24 = 16 + 5(8) + 4(4) - 48 - 24 = 16 + 40 + 16 - 48 - 24 = 72 - 72 = 0$.

Значит, $x_2 = 2$ также является корнем.

Раз мы нашли два корня, многочлен делится на $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$. Выполним деление многочлена $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24$ на $x^2 - x - 2$:

$(x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 24x - 24) : (x^2 - x - 2) = x^2 + 6x + 12$.

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 + 6x + 12 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два действительных корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

в) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$

Это кубическое уравнение. Все коэффициенты положительны, значит, если у уравнения есть действительные корни, они могут быть только отрицательными. Найдем корни подбором среди отрицательных делителей свободного члена (15). Делители: $-1, -3, -5, -15$.

Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$.

Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен на $(x+1)$:

$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) : (x + 1) = x^2 + 8x + 15$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 15. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.

Таким образом, мы нашли все три корня исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -3, x_3 = -5$.

г) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) = 2$

Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + 2x + x^2 + 2) + (x^3 + x + 2x^2 + 2) = 2$

$x^3 + x^2 + 2x + 2 + x^3 + 2x^2 + x + 2 = 2$

$(x^3 + x^3) + (x^2 + 2x^2) + (2x + x) + (2 + 2) = 2$

$2x^3 + 3x^2 + 3x + 4 = 2$

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

$2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена (2), а $q$ - делитель старшего коэффициента (2).

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2}$.

Проверим $x = -1$:

$2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 2(-1) + 3(1) - 3 + 2 = -2 + 3 - 3 + 2 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ на $(x+1)$:

$(2x^3 + 3x^2 + 3x + 2) : (x + 1) = 2x^2 + x + 2$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

3.23. a) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0;$

Б) $4x^3 - 3x - 1 = 0;$

В) $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0;$

Г) $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1 = 0.$

Дано кубическое уравнение $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$.

Для нахождения рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (10).

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/5, \pm 1/10$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$10(-1/2)^3 - 3(-1/2)^2 - 2(-1/2) + 1 = 10(-1/8) - 3(1/4) + 1 + 1 = -10/8 - 3/4 + 2 = -5/4 - 3/4 + 2 = -8/4 + 2 = -2 + 2 = 0$.

Так как значение равно нулю, $x_1 = -1/2$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x + 1/2)$ или на $(2x + 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ на $(2x+1)$:

$(10x^3 - 3x^2 - 2x + 1) : (2x + 1) = 5x^2 - 4x + 1$.

Теперь решим полученное квадратное уравнение $5x^2 - 4x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 2i}{10} = \frac{2 \pm i}{5}$.

Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$ и $x_3 = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$, $x_3 = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$.

Дано кубическое уравнение $4x^3 - 3x - 1 = 0$.

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (-1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4).

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4$.

Проверим подстановкой значение $x = 1$:

$4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0$.

Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $4x^3 - 3x - 1$ на $(x - 1)$ (обратите внимание, что коэффициент при $x^2$ равен 0):

$(4x^3 + 0x^2 - 3x - 1) : (x - 1) = 4x^2 + 4x + 1$.

Теперь решим полученное квадратное уравнение $4x^2 + 4x + 1 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом: $(2x + 1)^2 = 0$.

Отсюда $2x + 1 = 0$, что дает $x = -1/2$.

Этот корень имеет кратность 2.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_{2,3} = -1/2$.

Дано кубическое уравнение $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0$.

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$4(-1/2)^3 + 6(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 1 = 4(-1/8) + 6(1/4) - 2 + 1 = -1/2 + 3/2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Следовательно, $x_1 = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ на $(x + 1/2)$ или $(2x + 1)$:

$(4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) : (2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 + 2x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.

Корни комплексные:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.

Таким образом, два других корня: $x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$, $x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Дано кубическое уравнение $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1 = 0$.

По теореме о рациональных корнях, возможные корни $p/q$, где $p$ — делитель -1, $q$ — делитель 38.

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 19, \pm 38$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/19, \pm 1/38$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$38(-1/2)^3 + 7(-1/2)^2 - 8(-1/2) - 1 = 38(-1/8) + 7(1/4) + 4 - 1 = -19/4 + 7/4 + 3 = -12/4 + 3 = -3 + 3 = 0$.

Значит, $x_1 = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1$ на $(x + 1/2)$ или $(2x + 1)$:

$(38x^3 + 7x^2 - 8x - 1) : (2x + 1) = 19x^2 - 6x - 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $19x^2 - 6x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-1) = 36 + 76 = 112$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 19} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{38} = \frac{6 \pm 4\sqrt{7}}{38} = \frac{3 \pm 2\sqrt{7}}{19}$.

Таким образом, два других корня: $x_2 = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{19}$ и $x_3 = \frac{3 - 2\sqrt{7}}{19}$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{19}$, $x_3 = \frac{3 - 2\sqrt{7}}{19}$.