Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Деление уголком и схема Горнера: что общего и в чём разница?

Деление многочлена на многочлен уголком (или столбиком) и схема Горнера — это два алгоритма, которые позволяют выполнить операцию деления многочленов. Хотя они приводят к одному и тому же результату в определённых случаях, они имеют существенные различия в принципе работы, области применения и эффективности.

Общее

Основная и единственная общность этих двух методов заключается в их конечной цели:

• Цель: Оба метода предназначены для нахождения частного $S(x)$ и остатка $R(x)$ при делении многочлена $P(x)$ (делимое) на многочлен $Q(x)$ (делитель). Результат представляется в виде: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $Q(x)$.
• Результат: При делении многочлена $P(x)$ на линейный двучлен вида $(x-c)$, оба метода дадут абсолютно одинаковые частное и остаток.

Разница

Различия между методами гораздо более существенны и касаются их универсальности, формы записи и вычислительной сложности.

1. Область применения:
   • Деление уголком — это универсальный метод. Он позволяет разделить любой многочлен $P(x)$ на любой другой многочлен $Q(x)$ (ненулевой). Делитель может быть любой степени.
   • Схема Горнера — это узкоспециализированный метод. Он применим только для деления многочлена на линейный двучлен (бином) вида $(x-c)$. Использовать его для деления, например, на $x^2+1$ напрямую нельзя.
2. Алгоритм и форма записи:
   • Деление уголком напоминает обычное арифметическое деление столбиком. Операции производятся с целыми одночленами (например, $3x^3$ делится на $x$), и на каждом шаге выполняется вычитание многочленов. Запись довольно громоздкая.
   • Схема Горнера — это компактный табличный метод (иногда его называют "синтетическим делением"). Все операции производятся только с коэффициентами многочлена. Алгоритм состоит из последовательности умножений и сложений, что делает его очень быстрым и удобным для ручных вычислений.
3. Вычислительная эффективность:
   • Деление уголком требует большего числа операций и более сложных манипуляций (вычитание многочленов, работа со степенями).
   • Схема Горнера является самым эффективным с точки зрения вычислений алгоритмом для своей задачи. Она минимизирует количество арифметических операций. Именно поэтому она также используется для быстрого вычисления значения многочлена в точке $x=c$, так как по теореме Безу остаток от деления $P(x)$ на $(x-c)$ равен $P(c)$.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 4$ на $Q(x) = x - 2$.

1. Деление уголком:

 2x² - 3x + 4 (Частное) ___________________x-2 | 2x³ - 7x² + 10x - 4 -(2x³ - 4x²) ___________________ -3x² + 10x -(-3x² + 6x) ___________________ 4x - 4 -(4x - 8) _________ 4 (Остаток)

Результат: частное $S(x) = 2x^2 - 3x + 4$, остаток $R(x) = 4$.

2. Схема Горнера:

Выписываем коэффициенты многочлена $P(x)$: $2, -7, 10, -4$. Делим на $(x-2)$, значит $c=2$.

Числа в нижней строке (кроме последнего) — это коэффициенты частного: $2, -3, 4$. Значит, частное $S(x) = 2x^2 - 3x + 4$.
Последнее число в нижней строке — это остаток: $R(x) = 4$.

Как видно из примера, оба метода дали одинаковый результат, но схема Горнера более компактна и алгоритмически проще.

Ответ:
Общее: Оба метода служат для выполнения деления многочлена $P(x)$ на другой многочлен и приводят к одинаковому результату (частному и остатку), когда делителем является линейный двучлен вида $(x-c)$.
Разница:

• Универсальность: Деление уголком — универсальный метод, применимый для деления на многочлен любой степени. Схема Горнера — частный случай, работающий только при делении на линейный двучлен $(x-c)$.
• Процесс: Деление уголком — это громоздкая процедура, работающая с многочленами. Схема Горнера — это быстрый и компактный табличный алгоритм, оперирующий только коэффициентами.
• Эффективность: Для своей узкой задачи схема Горнера вычислительно гораздо эффективнее деления уголком.

2. Решение уравнений $n$-й степени с целыми коэффициентами в целых и в рациональных числах.

Рассматривается алгебраическое уравнение $n$-й степени с целыми коэффициентами:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

где все коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — целые числа, и старший коэффициент $a_n \neq 0$. Для нахождения целых и рациональных корней такого уравнения существуют специальные теоремы, которые позволяют сузить область поиска до конечного числа "кандидатов" в корни.

Решение в целых числах

Поиск целых корней основывается на следствии из общей теоремы о рациональных корнях. Формулируется оно следующим образом:

Теорема (следствие о целых корнях). Если целое число $k$ является корнем многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами, то $k$ является делителем свободного члена $a_0$.

Доказательство:

Пусть $k$ — целый корень уравнения, то есть $P(k) = 0$. Подставим $k$ в уравнение:

$a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = -a_n k^n - a_{n-1} k^{n-1} - \dots - a_1 k$

Вынесем $k$ за скобки в правой части:

$a_0 = -k(a_n k^{n-1} + a_{n-1} k^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку все коэффициенты $a_i$ и число $k$ являются целыми, выражение в скобках также является целым числом. Следовательно, $a_0$ делится на $k$ нацело, что и требовалось доказать.

Алгоритм поиска целых корней:

1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$. Это будут все возможные кандидаты в целые корни.
2. Последовательно подставить каждого кандидата в уравнение. Если при подстановке числа $k$ уравнение обращается в верное равенство $P(k) = 0$, то $k$ является корнем.
3. Если корень $k$ найден, можно упростить дальнейшие поиски, разделив многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - k)$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением "в столбик". В результате получится многочлен на единицу меньшей степени, корни которого также являются корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ в целых числах.

Свободный член $a_0 = -6$.

Делители числа -6: $k \in \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Проверяем кандидатов:

• $P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Следовательно, $x_1 = 1$ — корень.

Разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x - 1)$ с помощью схемы Горнера:

Новый многочлен имеет коэффициенты $1, -5, 6$. Это $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, его корни легко найти: по теореме Виета $x_2 + x_3 = 5$ и $x_2 \cdot x_3 = 6$. Корни $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Оба корня также являются делителями исходного свободного члена -6. Мы нашли все три корня.

Ответ: Целыми корнями уравнения являются числа 1, 2 и 3.

Решение в рациональных числах

Для поиска рациональных корней используется теорема о рациональных корнях (также известная как теорема Гаусса о корнях многочленов).

Теорема о рациональных корнях. Если несократимая дробь $x = \frac{p}{q}$ (где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$) является корнем многочлена $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ с целыми коэффициентами, то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Доказательство:

Пусть $x = \frac{p}{q}$ — корень уравнения. Тогда $P(\frac{p}{q}) = 0$.

$a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_1 \frac{p}{q} + a_0 = 0$

Умножим обе части уравнения на $q^n$:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0 q^n = 0$

1. Перенесем член $a_0 q^n$ в правую часть и вынесем $p$ за скобки:

$p(a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2}q + \dots + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n$

Левая часть делится на $p$. Значит, и правая часть $-a_0 q^n$ делится на $p$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p$ и $q^n$ взаимно просты. Следовательно, на $p$ должен делиться коэффициент $a_0$.

2. Перенесем член $a_n p^n$ в правую часть и вынесем $q$ за скобки:

$q(a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 pq^{n-2} + a_0 q^{n-1}) = -a_n p^n$

Левая часть делится на $q$. Значит, и правая часть $-a_n p^n$ делится на $q$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p^n$ и $q$ взаимно просты. Следовательно, на $q$ должен делиться коэффициент $a_n$.

Алгоритм поиска рациональных корней:

1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$. Обозначим их как $p$.
2. Найти все натуральные делители старшего коэффициента $a_n$. Обозначим их как $q$.
3. Составить все возможные несократимые дроби вида $\pm \frac{p}{q}$. Это множество "кандидатов" в рациональные корни.
4. Подставить каждого кандидата в уравнение и проверить, обращается ли оно в ноль.
5. Найденные корни использовать для понижения степени многочлена, как и в случае с целыми корнями.

Пример: Решить уравнение $3x^3 - 4x^2 - 17x + 6 = 0$ в рациональных числах.

Свободный член $a_0 = 6$, старший коэффициент $a_n = 3$.

Делители $a_0=6$ (кандидаты в числитель $p$): $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Натуральные делители $a_n=3$ (кандидаты в знаменатель $q$): $\{1, 3\}$.

Возможные рациональные корни $\frac{p}{q}$: $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}\}$.

Проверяем кандидатов:

• $P(-2) = 3(-8) - 4(4) - 17(-2) + 6 = -24 - 16 + 34 + 6 = 0$. Следовательно, $x_1 = -2$ — корень.

Разделим многочлен $3x^3 - 4x^2 - 17x + 6$ на $(x + 2)$:

$(3x^3 - 4x^2 - 17x + 6) : (x + 2) = 3x^2 - 10x + 3$.

Решаем квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$x_{2,3} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_2 = \frac{18}{6} = 3$.

$x_3 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Все три найденных корня ($-2, 3, \frac{1}{3}$) принадлежали списку кандидатов.

Ответ: Рациональными корнями уравнения являются числа -2, 3 и $\frac{1}{3}$.

В целых и в рациональных полях.

Формулы Кардано

Формулы Кардано предназначены для нахождения корней кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

1. Приведение к неполному виду.
Сначала общее кубическое уравнение приводится к так называемому "неполному" или "приведенному" виду, в котором отсутствует член со второй степенью переменной. Для этого делается подстановка $x = y - \frac{b}{3a}$. После подстановки и упрощения уравнение принимает вид: $y^3 + py + q = 0$ где коэффициенты $p$ и $q$ выражаются через исходные коэффициенты $a, b, c, d$: $p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ $q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} = \frac{d}{a} + \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2}$

2. Решение неполного уравнения.
Для решения уравнения $y^3 + py + q = 0$ используется подстановка $y = u + v$. Подставим ее в уравнение: $(u+v)^3 + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0$

Теперь наложим на переменные $u$ и $v$ дополнительное условие: $3uv + p = 0$, или $uv = -\frac{p}{3}$. Это позволяет избавиться от слагаемого с $(u+v)$. Уравнение упрощается до: $u^3 + v^3 = -q$

В итоге мы имеем систему из двух уравнений относительно $u^3$ и $v^3$: $\begin{cases} u^3 + v^3 = -q \\ u^3 v^3 = (uv)^3 = (-\frac{p}{3})^3 = -\frac{p^3}{27} \end{cases}$

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения, $u^3$ и $v^3$ являются корнями вспомогательного квадратного уравнения $z^2 - (u^3+v^3)z + u^3v^3 = 0$. Подставив значения из системы, получим: $z^2 + qz - \frac{p^3}{27} = 0$

Решая это квадратное уравнение относительно $z$, находим: $z = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4(-\frac{p^3}{27})}}{2} = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$

Таким образом, мы нашли значения для $u^3$ и $v^3$: $u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$
$v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$

Извлекая кубические корни, получаем $u$ и $v$, а затем и корень $y = u+v$. $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}$

Это и есть формула Кардано. Она дает один из корней уравнения. Чтобы найти все три корня ($y_1, y_2, y_3$), нужно учесть, что у каждого комплексного числа есть три кубических корня. Если $u_0$ и $v_0$ — какие-либо значения корней, удовлетворяющие условию $u_0 v_0 = -p/3$, то все три корня уравнения для $y$ даются формулами: $y_1 = u_0 + v_0$ $y_2 = u_0\omega + v_0\omega^2$ $y_3 = u_0\omega^2 + v_0\omega$ где $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ — комплексные кубические корни из единицы.

Наконец, зная корни $y_1, y_2, y_3$, можно найти корни исходного уравнения по формуле $x_k = y_k - \frac{b}{3a}$.

Ответ: Для кубического уравнения, приведенного к виду $y^3 + py + q = 0$, его корни находятся по формуле: $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}}$, где $D = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3$ — дискриминант.

Теорема Виета

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Она названа в честь французского математика Франсуа Виета.

Рассмотрим многочлен степени $n$: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (действительные или комплексные). Тогда многочлен можно представить в виде: $P(x) = a_n (x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$

Если раскрыть скобки в этом выражении и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ к коэффициентам исходного многочлена, получатся формулы Виета.

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Для кубического уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

В общем случае для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ с корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$ формулы Виета выглядят следующим образом:

• $\sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ...
• $x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

Общая формула для суммы произведений корней по $k$ штук: $\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

Ответ: Для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ связь между корнями и коэффициентами выражается через элементарные симметрические многочлены от корней: сумма произведений корней, взятых по $k$, равна $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$.

Найдите область определения функции:

5.12. a) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$;

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$;

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$;

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$.

а) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$

Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух корней четной степени (квадратного и четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия, которые образуют систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 8 \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 5x \ge -8 \\ 2x \ge 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{8}{5} \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1.6 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Общим решением системы является пересечение промежутков $[-1.6; +\infty)$ и $[2; +\infty)$. Наибольшее из чисел $-1.6$ и $2$ равно $2$, поэтому решение системы $x \ge 2$.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, так как оба корня имеют четные степени (6 и 8).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ 5 - 10x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x \ge -1 \\ -10x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{2} \\ x \le \frac{-5}{-10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \le 0.5 \end{cases}$

Решением системы является пересечение промежутков $[-0.5; +\infty)$ и $(-\infty; 0.5]$, что соответствует отрезку $[-0.5; 0.5]$.

Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$

Оба корня в выражении имеют четные степени (10 и 4), поэтому оба подкоренных выражения должны быть больше или равны нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 12 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3x \ge 12 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Пересечением множеств решений $x \ge 4$ и $x \ge 0.5$ является промежуток, где $x$ больше или равно 4.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$

Поскольку оба корня имеют четные степени (2 и 12), оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

Запишем и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8 - 16x \ge 0 \\ 10x + 20 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} -16x \ge -8 \\ 10x \ge -20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{-8}{-16} \\ x \ge \frac{-20}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 0.5 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Решением системы является двойное неравенство $-2 \le x \le 0.5$, что соответствует отрезку $[-2; 0.5]$.

Ответ: $D(y) = [-2; 0.5]$.

5.13. a) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 - 2x}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$;

Г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$.

Данные задачи требуют найти область определения для каждой функции. Область определения функции, содержащей корень четной степени, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

а) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 - 2x}$

Поскольку корень имеет четную степень (12), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$15 - x^2 - 2x \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид:

$x^2 + 2x - 15 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 15$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями.

Следовательно, решением неравенства является отрезок: $x \in [-5, 3]$.

Ответ: $[-5, 3]$.

в) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 8x + 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Проверим через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$

Парабола $f(x) = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения: $x \in (-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$

Корень имеет четную степень (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4 - x^2 - 3x \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Проверим через дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Значения функции неположительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями.

Следовательно, область определения: $x \in [-4, 1]$.

Ответ: $[-4, 1]$.

5.14. а) $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}};$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}};$

В) $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}};$

Г) $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}.$

а) Дана функция $y = \sqrt[4]{\frac{x - 8}{3x + 5}}$.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем четной степени (в данном случае, 4-й) является неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x - 8}{3x + 5} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $3x + 5 = 0 \implies 3x = -5 \implies x = -5/3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x = 8$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x = -5/3$ будет выколотой (не включена в решение), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5/3)$, $(-5/3, 8]$ и $[8, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из них.

- Для интервала $(-\infty, -5/3)$, возьмем $x = -2$. Получим $\frac{-2 - 8}{3(-2) + 5} = \frac{-10}{-1} = 10$, что больше 0. Знак «+».

- Для интервала $(-5/3, 8]$, возьмем $x = 0$. Получим $\frac{0 - 8}{3(0) + 5} = -\frac{8}{5}$, что меньше 0. Знак «-».

- Для интервала $[8, +\infty)$, возьмем $x = 10$. Получим $\frac{10 - 8}{3(10) + 5} = \frac{2}{35}$, что больше 0. Знак «+».

Мы ищем значения $x$, для которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $D(y) = (-\infty, -5/3) \cup [8, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt[5]{\frac{1 + 9x}{4 + 3x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (5-ю), подкоренное выражение может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Единственное ограничение для области определения этой функции — знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$4 + 3x \ne 0$

$3x \ne -4$

$x \ne -4/3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -4/3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -4/3) \cup (-4/3, +\infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt[3]{\frac{12 - 5x}{7 - 2x}}$.

Корень имеет нечетную степень (3-ю), поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничение накладывается только на знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю.

Условие для области определения:

$7 - 2x \ne 0$

$7 \ne 2x$

$x \ne 7/2$ или $x \ne 3.5$

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, за исключением $x = 3.5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt[6]{\frac{3 - 7x}{2x + 9}}$.

Так как корень имеет четную степень (6-ю), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Знаменатель дроби также не должен равняться нулю.

Решим неравенство:

$\frac{3 - 7x}{2x + 9} \ge 0$

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3 - 7x = 0 \implies 7x = 3 \implies x = 3/7$.

Нуль знаменателя: $2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -9/2 = -4.5$.

Отметим точки на числовой оси: $x = -4.5$ (выколотая) и $x = 3/7$ (закрашенная).

Получаем интервалы: $(-\infty, -4.5)$, $(-4.5, 3/7]$ и $[3/7, +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

- Для интервала $(-\infty, -4.5)$, возьмем $x = -5$. Получим $\frac{3 - 7(-5)}{2(-5) + 9} = \frac{3+35}{-10+9} = \frac{38}{-1} < 0$. Знак «-».

- Для интервала $(-4.5, 3/7]$, возьмем $x = 0$. Получим $\frac{3 - 7(0)}{2(0) + 9} = \frac{3}{9} > 0$. Знак «+».

- Для интервала $[3/7, +\infty)$, возьмем $x = 1$. Получим $\frac{3 - 7(1)}{2(1) + 9} = \frac{-4}{11} < 0$. Знак «-».

Неравенство выполняется на интервале, где стоит знак «+».

Ответ: $D(y) = (-4.5, 3/7]$.

5.15. a) $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt[8]{x^2 - 1};$

б) $y = \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5} - \sqrt{x^2 - 3x};$

в) $y = \sqrt[12]{x^2 - 9} - \sqrt[10]{16 - x^2};$

г) $y = \sqrt[12]{15 - 2x - x^2} + \sqrt{x^2 + 6x + 8}.$

a) Область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt[8]{x^2 - 1}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$25 - x^2 \ge 0$
$x^2 - 1 \ge 0$
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство: $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25$. Это равносильно $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5; 5]$.
Второе неравенство: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$. Это равносильно $x \le -1$ или $x \ge 1$, то есть $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.
Областью определения функции является пересечение найденных множеств: $[-5; 5] \cap ((-\infty; -1] \cup [1; \infty))$.
Пересечение состоит из двух промежутков: $[-5; -1]$ и $[1; 5]$.
Ответ: $x \in [-5; -1] \cup [1; 5]$.

б) Для функции $y = \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5} - \sqrt{x^2 - 3x}$ оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, так как степени корней (6 и 2) четные. Составим систему неравенств:
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
$x^2 - 3x \ge 0$
Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \ge 0 \implies x(x - 3) \ge 0$. Корни уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1 = 0, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство справедливо при $x \in (-\infty; 0] \cup [3; \infty)$.
Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty; 1] \cup [5; \infty)) \cap ((-\infty; 0] \cup [3; \infty))$.
Это дает нам объединение двух интервалов: $(-\infty; 0]$ и $[5; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt[12]{x^2 - 9} - \sqrt[10]{16 - x^2}$ определяется системой неравенств, так как степени корней (12 и 10) четные:
$x^2 - 9 \ge 0$
$16 - x^2 \ge 0$
Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9$. Это выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 3$, то есть $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.
Решим второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16$. Это выполняется при $-4 \le x \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -3] \cup [3; \infty)) \cap [-4; 4]$.
Пересекая интервалы, получаем: $[-4; -3] \cup [3; 4]$.
Ответ: $x \in [-4; -3] \cup [3; 4]$.

г) Для функции $y = \sqrt[12]{15 - 2x - x^2} + \sqrt{x^2 + 6x + 8}$ выражения под корнями четной степени (12 и 2) должны быть неотрицательны. Составим систему неравенств:
$15 - 2x - x^2 \ge 0$
$x^2 + 6x + 8 \ge 0$
Решим первое неравенство: $15 - 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2x - 15 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ равны $x_1 = -5, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-5; 3]$.
Решим второе неравенство: $x^2 + 6x + 8 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ равны $x_1 = -4, x_2 = -2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2; \infty)$.
Найдем пересечение множеств решений: $[-5; 3] \cap ((-\infty; -4] \cup [-2; \infty))$.
Пересечение дает нам два интервала: $[-5; -4]$ и $[-2; 3]$.
Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [-2; 3]$.

5.16. a) $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 2}{x - 4}}.$

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3}$, необходимо, чтобы все выражения под корнями и в знаменателях были определены. Это приводит к следующей системе условий:

1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $\frac{2x - 5}{4x + 8} \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.
3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 3 \neq 0$.

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решим неравенство $\frac{2x - 5}{4x + 8} \geq 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x - 5 = 0 \implies x = 2,5$
$4x + 8 = 0 \implies x = -2$
Точка $x=2,5$ является решением, так как неравенство нестрогое. Точка $x=-2$ (корень знаменателя) решением не является. На числовой оси эти точки делят прямую на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:
- при $x > 2,5$ (например, $x=3$): $\frac{2(3)-5}{4(3)+8} = \frac{1}{20} > 0$. Интервал подходит.
- при $-2 < x < 2,5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-5}{4(0)+8} = -\frac{5}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-5}{4(-3)+8} = \frac{-11}{-4} > 0$. Интервал подходит.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup [2,5; +\infty)$.

2. Решим квадратное неравенство $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

3. Из условия $x - 3 \neq 0$ получаем $x \neq 3$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений, то есть общую часть для всех трех условий.
Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -2) \cup [2,5; +\infty)$ и $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$, а затем исключить точку $x=3$.
- Пересечение $(-\infty; -2)$ с $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает интервал $(-\infty; -3]$.
- Пересечение $[2,5; +\infty)$ с $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает интервал $[2,5; +\infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем множество $(-\infty; -3] \cup [2,5; +\infty)$.
Наконец, применяем условие $x \neq 3$. Точка 3 входит в интервал $[2,5; +\infty)$, поэтому мы должны ее исключить, разбив интервал на два.
Окончательная область определения функции: $(-\infty; -3] \cup [2,5; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [2,5; 3) \cup (3; +\infty)$.

б)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 2}{x - 4}}$, необходимо учесть следующие ограничения:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x \geq 0$.
2. Знаменатель первой дроби не должен равняться нулю: $2x + 2 \neq 0$.
3. Выражение под вторым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\frac{2x + 2}{x - 4} \geq 0$.

Решим каждое условие.

1. Решим неравенство $x^2 - 5x \geq 0$.
Разложим на множители: $x(x - 5) \geq 0$.
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна при $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим $2x + 2 \neq 0 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1$.

3. Решим неравенство $\frac{2x + 2}{x - 4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя:
$2x + 2 = 0 \implies x = -1$
$x - 4 = 0 \implies x = 4$
Точка $x=-1$ включается в решение, точка $x=4$ исключается. Определим знаки на интервалах:
- при $x > 4$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал $(4; +\infty)$ подходит.
- при $-1 < x < 4$: $\frac{+}{-} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -1$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал $(-\infty; -1]$ подходит.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий.
Условие 1: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.
Условие 2: $x \neq -1$.
Условие 3: $x \in (-\infty; -1] \cup (4; +\infty)$.
Найдем пересечение множеств из условий 1 и 3:
$((\-\infty; 0] \cup [5; +\infty)) \cap ((\-\infty; -1] \cup (4; +\infty))$.
- Пересечение левых частей: $(-\infty; 0] \cap (-\infty; -1] = (-\infty; -1]$.
- Пересечение правых частей: $[5; +\infty) \cap (4; +\infty) = [5; +\infty)$.
Результат пересечения условий 1 и 3: $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.
Теперь учтем условие 2: $x \neq -1$. Исключаем точку $-1$ из полученного множества.
Окончательная область определения: $(-\infty; -1) \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup [5; +\infty)$.

5.17. a) $y = \sqrt[4]{\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21}}$;

б) $y = \sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5} - \sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$;

в) $y = \sqrt[8]{\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15}}$;

г) $y = \frac{\sqrt[4]{-x^3 + 5x^2 - 8x + 4}}{\sqrt{x^2 - 9|x| + 18}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21}}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае 4-й) должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Таким образом, необходимо решить систему неравенств:$$\begin{cases} \frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21} \ge 0 \\ x^2 - 4x - 21 \ne 0 \end{cases}$$Решим неравенство $\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни числителя $10x^3 - 21x^2 + 4 = 0$. Подбором находим корень $x=2$. Разделив многочлен на $(x-2)$, получим $10x^2-x-2$. Корни квадратного уравнения $10x^2-x-2=0$ равны $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(10)(-2)}}{20} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{20} = \frac{1 \pm 9}{20}$. Отсюда $x_1 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$.Таким образом, числитель можно разложить на множители: $10(x-2)(x-1/2)(x+2/5)$.

2. Найдем корни знаменателя $x^2 - 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.Знаменатель раскладывается на множители: $(x-7)(x+3)$.

3. Неравенство принимает вид:$$ \frac{10(x-2)(x-1/2)(x+2/5)}{(x-7)(x+3)} \ge 0 $$Отметим на числовой оси корни числителя ($-\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, 2$) и корни знаменателя ($-3, 7$). Корни знаменателя будут выколотыми точками.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $x > 7$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x \in (2, 7)$: $(-) \implies$ не подходит.
• При $x \in (1/2, 2)$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x \in (-2/5, 1/2)$: $(-) \implies$ не подходит.
• При $x \in (-3, -2/5)$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x < -3$: $(-) \implies$ не подходит.

Учитывая, что неравенство нестрогое, корни числителя включаются в решение.

Ответ: $x \in (-3, -2/5] \cup [1/2, 2] \cup (7, \infty)$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5} - \sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для первого слагаемого $\sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$4x^2 + 11.5x - 1.5 \ge 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $8x^2 + 23x - 3 \ge 0$.Найдем корни уравнения $8x^2 + 23x - 3 = 0$:$D = 23^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 529 + 96 = 625 = 25^2$.$x = \frac{-23 \pm 25}{16}$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1/8, \infty)$.

2. Для второго слагаемого $\sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$x^3 - x^2 - 10x - 8 \ge 0$.Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 - x^2 - 10x - 8$. Подбором находим корень $x=-1$. $P(-1)=-1-1+10-8=0$.Также $x=-2$ является корнем: $P(-2)=-8-4+20-8=0$.Сумма корней кубического уравнения равна $-(-1)/1=1$. Два корня $(-1)$ и $(-2)$, значит третий корень $x_3 = 1 - (-1) - (-2) = 4$.Неравенство принимает вид $(x+1)(x+2)(x-4) \ge 0$.Методом интервалов получаем решение: $x \in [-2, -1] \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств:$((-\infty, -3] \cup [1/8, \infty)) \cap ([-2, -1] \cup [4, \infty))$.Интервал $(-\infty, -3]$ не пересекается с $[-2, -1] \cup [4, \infty)$.Интервал $[1/8, \infty)$ не пересекается с $[-2, -1]$.Пересечение $[1/8, \infty)$ и $[4, \infty)$ есть $[4, \infty)$.

Ответ: $x \in [4, \infty)$.

в)

Область определения функции $y = \sqrt[8]{\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15}}$ находится из условия $\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15} \ge 0$.

1. Разложим на множители числитель $x^3 - 12x + 16$. Подбором находим корень $x=2$: $8 - 24 + 16 = 0$.Делением получаем $x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x^2+2x-8)$.Корни квадратного трехчлена $x^2+2x-8=0$ это $x=-4$ и $x=2$.Таким образом, числитель равен $(x-2)(x-2)(x+4) = (x-2)^2(x+4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 2x - 15$. Корни $x=5$ и $x=-3$.Знаменатель равен $(x-5)(x+3)$.

3. Неравенство принимает вид:$$ \frac{(x-2)^2(x+4)}{(x-5)(x+3)} \ge 0 $$Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$, что удовлетворяет неравенству (дробь равна 0). Точка $x=2$ входит в область определения.При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен и на знак дроби не влияет. Решаем неравенство $\frac{x+4}{(x-5)(x+3)} \ge 0$.Методом интервалов для этого неравенства с точками $-4, -3, 5$ получаем $x \in [-4, -3) \cup (5, \infty)$.

4. Объединяем полученное множество с точкой $x=2$. Точка $x=2$ не входит в найденные интервалы, поэтому добавляем ее отдельно.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup \{2\} \cup (5, \infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt[4]{-x^3 + 5x^2 - 8x + 4}}{\sqrt{x^2 - 9|x| + 18}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным:$-x^3 + 5x^2 - 8x + 4 \ge 0$.Разложим многочлен на множители. Подбором находим корень $x=1$: $-1+5-8+4=0$.После деления на $(x-1)$ получаем $-x^2+4x-4 = -(x^2-4x+4) = -(x-2)^2$.Неравенство принимает вид $-(x-1)(x-2)^2 \ge 0$, или $(x-1)(x-2)^2 \le 0$.Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$, что удовлетворяет неравенству ($0 \le 0$).При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2 > 0$, поэтому неравенство сводится к $x-1 \le 0$, то есть $x \le 1$.Решение первого условия: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\}$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 9|x| + 18 > 0$.Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.$t^2 - 9t + 18 > 0$.Корни уравнения $t^2 - 9t + 18 = 0$ равны $t_1=3, t_2=6$.Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $t < 3$ или $t > 6$.Возвращаясь к замене: $|x| < 3$ или $|x| > 6$.$|x| < 3$ эквивалентно $-3 < x < 3$.$|x| > 6$ эквивалентно $x < -6$ или $x > 6$.Решение второго условия: $x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих условий:$((-\infty, 1] \cup \{2\}) \cap ((-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty))$.Пересечение $(-\infty, 1]$ с $(-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty)$ дает $(-\infty, -6) \cup (-3, 1]$.Проверяем точку $\{2\}$. Она принадлежит интервалу $(-3, 3)$, поэтому она также входит в итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 1] \cup \{2\}$.