Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

○6.27. a) $ -\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}; $

б) $ \sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6. $

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{5x}$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$\frac{1}{2}y + 13 + \frac{y}{5} = 2y$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числовое значение — в другую:

$13 = 2y - \frac{1}{2}y - \frac{1}{5}y$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 10:

$13 = \frac{20y}{10} - \frac{5y}{10} - \frac{2y}{10}$

$13 = \frac{20y - 5y - 2y}{10}$

$13 = \frac{13y}{10}$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{13 \cdot 10}{13}$

$y = 10$

Теперь, когда мы нашли $y$, вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$\sqrt[3]{5x} = 10$

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{5x})^3 = 10^3$

$5x = 1000$

Найдем $x$:

$x = \frac{1000}{5}$

$x = 200$

Ответ: $x=200$

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

Так как в уравнении присутствует корень четвертой степени (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, область допустимых значений для $x$ определяется неравенством $x \ge 0$.

Упростим радикалы, вынеся множители из-под знака корня. Для этого представим числа 32 и 162 в виде произведения, где один из множителей является четвертой степенью целого числа.

$\sqrt[4]{32x} = \sqrt[4]{16 \cdot 2x} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2x} = 2\sqrt[4]{2x}$

$\sqrt[4]{162x} = \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2x} = 3\sqrt[4]{2x}$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2x} + 2\sqrt[4]{2x} + 3\sqrt[4]{2x} = 6$

Сложим коэффициенты при одинаковых радикалах в левой части уравнения:

$(1 + 2 + 3)\sqrt[4]{2x} = 6$

$6\sqrt[4]{2x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\sqrt[4]{2x} = 1$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{2x})^4 = 1^4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Найденный корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \ge 0$).

Ответ: $x=\frac{1}{2}$

6.28. a) $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0;$

Б) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0;$

В) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0;$

Г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня четной (шестой) степени, поэтому $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $(\sqrt[6]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[6]{x})^2 - 2\sqrt[6]{x} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 2t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t-2) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.

Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=0$, то $\sqrt[6]{x} = 0$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x=0$.

2) Если $t=2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = 2^6 = 64$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 0; 64.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за корней четной степени.

Представим $\sqrt{x}$ как $(\sqrt[4]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[4]{x})^2 - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 2^4 = 16$.

2) Если $t=3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 3^4 = 81$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16; 81.

в) Исходное уравнение: $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $(\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение: $2(\sqrt[6]{x})^2 + \sqrt[6]{x} - 1 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

$t_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[4]{x}$ как $(\sqrt[8]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[8]{x})^2 + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$. Возведя обе части в восьмую степень, получаем $x = 1^8 = 1$.

Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 1.

6.29. Докажите, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Для доказательства тождества $2f(x) = f(128x)$ при условии, что $f(x) = \sqrt[7]{x}$, преобразуем обе части равенства.

1. Левая часть равенства:

Левая часть имеет вид $2f(x)$. Подставим в нее определение функции $f(x)$:

$2f(x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

2. Правая часть равенства:

Правая часть имеет вид $f(128x)$. Чтобы найти ее значение, нужно подставить аргумент $128x$ в определение функции $f(x)$:

$f(128x) = \sqrt[7]{128x}$

Используем свойство корня произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x}$

Теперь вычислим значение $\sqrt[7]{128}$. Нам нужно найти число, которое в 7-й степени равно 128. Это число 2, поскольку:

$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Следовательно, $\sqrt[7]{128} = 2$.

Подставим это значение обратно в выражение для правой части:

$f(128x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

3. Сравнение частей:

Мы получили, что левая часть равна $2\sqrt[7]{x}$ и правая часть равна $2\sqrt[7]{x}$.

$2\sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$

Так как левая и правая части равенства тождественно равны, исходное утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.30. Докажите, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Чтобы доказать тождество $2f(x) = f(32x)$ при $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства, используя определение функции, а также свойства степеней и корней.

Преобразование левой части: $2f(x)$

Подставим данное выражение для $f(x)$ в левую часть равенства:

$2f(x) = 2 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=1$ и $n=\sqrt[5]{x}$, получаем:

$2f(x) = 2^{1} \cdot 2^{\sqrt[5]{x}} = 2^{1+\sqrt[5]{x}}$

Преобразование правой части: $f(32x)$

Для нахождения $f(32x)$ подставим $32x$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(32x) = 2^{\sqrt[5]{32x}}$

Используя свойство корней $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, преобразуем выражение в показателе степени:

$\sqrt[5]{32x} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x}$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Подставим это значение обратно в выражение для $f(32x)$:

$f(32x) = 2^{2 \cdot \sqrt[5]{x}} = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Сравнение левой и правой частей

Теперь сравним полученные выражения для левой и правой частей:

Левая часть: $2f(x) = 2^{1+\sqrt[5]{x}}$

Правая часть: $f(32x) = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Чтобы исходное равенство было верным, должно выполняться равенство их показателей степеней:

$1+\sqrt[5]{x} = 2\sqrt[5]{x}$

Вычтем $\sqrt[5]{x}$ из обеих частей уравнения:

$1 = 2\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x}$

$1 = \sqrt[5]{x}$

Возведя обе части в пятую степень, находим $x$:

$x = 1^5 = 1$

Вывод

Равенство $2f(x) = f(32x)$ выполняется только при $x=1$, но не является тождеством для всех $x$ из области определения функции. Следовательно, утверждение, которое требуется доказать, в общем виде неверно.

Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка. Например, тождество было бы верным, если бы функция была $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$, или если бы доказываемое равенство имело вид $(f(x))^2 = f(32x)$.

Ответ: Утверждение $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$ не является тождеством, так как оно справедливо только при $x=1$.

6.31. Докажите, что $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$, если $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $g(x) = \sqrt[6]{x}$.

Для того чтобы доказать равенство $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$, преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя заданные функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = \sqrt[6]{x}$.

1. Преобразование левой части равенства.

Начнем с выражения $2\sqrt{f(x)}$. Подставим в него определение функции $f(x)$:

$2\sqrt{f(x)} = 2\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Применяя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ (где для квадратного корня $n=2$, а для кубического $m=3$), получим:

$2\sqrt{\sqrt[3]{x}} = 2\sqrt[2 \cdot 3]{x} = 2\sqrt[6]{x}$

Таким образом, левая часть тождества равна $2\sqrt[6]{x}$.

2. Преобразование правой части равенства.

Теперь рассмотрим выражение $g(64x)$. Подставим в функцию $g(x)$ аргумент $64x$:

$g(64x) = \sqrt[6]{64x}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[6]{64x} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{x}$

Вычислим значение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $64 = 2^6$, то:

$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$2 \cdot \sqrt[6]{x}$

3. Заключение.

Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $2\sqrt[6]{x}$.

$2\sqrt[6]{x} = 2\sqrt[6]{x}$

Следовательно, равенство $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.32. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$;

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$;

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$;

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$

Для построения графика данной функции воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$ для любого действительного числа $a$, где $k$ — натуральное число. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число), поэтому функция принимает вид:

$y = |x - 2|$

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой объединение двух лучей, выходящих из одной точки — вершины.

Вершина графика находится в точке, где выражение под знаком модуля равно нулю: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Координаты вершины: $(2, 0)$.

График состоит из двух частей:

1. При $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, модуль раскрывается со знаком плюс: $y = x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(3, 1)$.
2. При $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, модуль раскрывается со знаком минус: $y = -(x - 2) = 2 - x$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это объединение двух лучей $y = x - 2$ при $x \ge 2$ и $y = 2 - x$ при $x < 2$. Вершина графика находится в точке $(2, 0)$.

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$

Воспользуемся свойством корня нечетной степени: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$ для любого действительного числа $a$, где $k$ — целое неотрицательное число. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 5 (нечетное число), поэтому функция упрощается до:

$y = 2 - x$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 2 - x$, откуда $x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции — это прямая линия, заданная уравнением $y = 2 - x$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$

Показатель корня и степень подкоренного выражения равны 3 (нечетное число). Используя свойство $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$, упрощаем функцию:

$y = x + 1$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой найдем две точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График функции — это прямая линия, заданная уравнением $y = x + 1$, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$

Показатель корня и степень подкоренного выражения равны 6 (четное число). Используя свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$, получаем:

$y = |3 - x|$

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем переписать функцию в более привычном виде: $y = |-(x - 3)| = |x - 3|$.

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной.

Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.

График состоит из двух частей:

1. При $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$, модуль раскрывается со знаком плюс: $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
2. При $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, модуль раскрывается со знаком минус: $y = -(x - 3) = 3 - x$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции — это объединение двух лучей $y = x - 3$ при $x \ge 3$ и $y = 3 - x$ при $x < 3$. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$.

Вынесите множитель из-под знака корня:

7.1. a) $\sqrt{20}$; б) $\sqrt{147}$; в) $\sqrt{108}$; г) $\sqrt{245}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.
Разложим число 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$. Число 4 является квадратом числа 2 ($2^2=4$).
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}$.
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{4} = 2$, то выражение упрощается до $2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{147}$, найдем наибольший делитель числа 147, который является точным квадратом.
Разложим число 147 на простые множители. Заметим, что сумма цифр числа 147 равна $1+4+7=12$, что делится на 3, значит и само число делится на 3.
$147 = 3 \cdot 49$.
Число 49 является точным квадратом, так как $49 = 7^2$.
Следовательно, мы можем переписать исходное выражение:
$\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3}$.
Применяя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{49} = 7$, получаем $7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{108}$. Чтобы вынести множитель, разложим число 108 на множители, один из которых является наибольшим возможным точным квадратом.
Проведем факторизацию числа 108. Можно последовательно делить на известные квадраты (4, 9, 16, ...). 108 делится на 4: $108 = 4 \cdot 27$. Также 108 делится на 9: $108 = 9 \cdot 12$. Наибольший квадрат, который делит 108, это 36.
$108 = 36 \cdot 3$.
Подставим это в корень:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{36} = 6$, получаем результат $6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.

г) Для вынесения множителя из-под знака корня в выражении $\sqrt{245}$, необходимо разложить подкоренное число 245 на множители.
Найдем множители числа 245. Так как число заканчивается на 5, оно делится на 5.
$245 \div 5 = 49$.
Таким образом, $245 = 5 \cdot 49$.
Множитель 49 является точным квадратом, поскольку $49 = 7^2$.
Теперь мы можем переписать исходное выражение:
$\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5}$.
Воспользуемся свойством квадратного корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{5}$.
Вычисляем корень из 49: $\sqrt{49} = 7$.
В итоге получаем $7\sqrt{5}$.
Ответ: $7\sqrt{5}$.

7.2. а) $\sqrt[3]{24}$;

б) $\sqrt[3]{54}$;

в) $\sqrt[3]{256}$;

г) $\sqrt[3]{375}$.

а)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24}$, необходимо вынести множитель из-под знака кубического корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, чтобы найти среди них такой, который является полным кубом.

Разложим число 24 на множители:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3}$.

Так как $\sqrt[3]{2^3} = 2$, выражение упрощается до:
$2 \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{54}$. Разложим число 54 на множители, один из которых является полным кубом.

Разложение числа 54 на множители:
$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Подставим разложение в выражение под корнем:
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$.

Применим свойство произведения корней:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2}$.

Так как $\sqrt[3]{3^3} = 3$, получаем:
$3 \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{256}$. Разложим подкоренное число на множители так, чтобы выделить полный куб.

Представим 256 как произведение, где один из множителей — наибольший возможный куб.
$256 = 64 \cdot 4 = 4^3 \cdot 4$.

Подставим это разложение под знак корня:
$\sqrt[3]{256} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 4}$.

Используем свойство корня от произведения:
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{4}$.

Так как $\sqrt[3]{4^3} = 4$, итоговое выражение будет:
$4 \cdot \sqrt[3]{4} = 4\sqrt[3]{4}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{4}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{375}$. Найдем множители числа 375, один из которых является полным кубом.

Разложим 375 на множители. Можно заметить, что $375 = 125 \cdot 3$. Число 125 является кубом числа 5: $125 = 5^3$.
Таким образом, $375 = 5^3 \cdot 3$.

Подставим разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3}$.

Применим свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3}$.

Так как $\sqrt[3]{5^3} = 5$, получаем:
$5 \cdot \sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{3}$

7.3. a) $\sqrt[4]{80}$;

б) $\sqrt[4]{160}$;

в) $\sqrt[4]{405}$;

г) $\sqrt[4]{486}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{80}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.
Разложим число 80 на простые множители: $80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$.
Мы видим, что 80 можно представить как произведение $16 \cdot 5$, где $16 = 2^4$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

б) Для выражения $\sqrt[4]{160}$ проделаем аналогичные действия. Разложим число 160 на множители.
$160 = 16 \cdot 10$.
Число 16 является четвертой степенью числа 2 ($16 = 2^4$).
Следовательно, мы можем вынести его из-под знака корня четвертой степени.
$\sqrt[4]{160} = \sqrt[4]{16 \cdot 10} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10} = 2\sqrt[4]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{10}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[4]{405}$. Разложим подкоренное число 405 на множители.
Заметим, что число 405 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$405 = 5 \cdot 81$.
Число 81 является четвертой степенью числа 3 ($81 = 3^4$).
Подставим это в выражение:
$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{5}$.

г) Для выражения $\sqrt[4]{486}$ найдем множитель, который является точной четвертой степенью.
Разложим 486 на простые множители. Число четное, делим на 2:
$486 = 2 \cdot 243$.
Сумма цифр числа 243 равна $2+4+3=9$, значит, оно делится на 3.
$243 = 3 \cdot 81$.
Число 81, как мы уже знаем, это $3^4$.
Таким образом, $486 = 2 \cdot 3 \cdot 81 = 6 \cdot 3^4$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{486} = \sqrt[4]{81 \cdot 6} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{6} = 3\sqrt[4]{6}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{6}$.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

7.4. a) $\sqrt{x^3}$;
б) $\sqrt[3]{a^4}$;
в) $\sqrt[5]{m^7}$;
г) $\sqrt[4]{n^{13}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{x^3}$, представим подкоренное выражение $x^3$ в виде произведения такого, чтобы один из множителей был полным квадратом. Мы можем записать $x^3$ как $x^2 \cdot x$. Тогда, используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$), получим: $\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x}$. По условию переменная $x$ неотрицательна, поэтому $\sqrt{x^2} = x$. Таким образом, выражение упрощается до $x\sqrt{x}$. Ответ: $x\sqrt{x}$

б) В выражении $\sqrt[3]{a^4}$ показатель корня равен 3. Чтобы вынести множитель, представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения, где один из множителей является степенью с показателем, кратным 3. Так как $4 = 3 + 1$, то $a^4 = a^3 \cdot a^1 = a^3 \cdot a$. Применяя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{a}$. Так как $a \ge 0$, то $\sqrt[3]{a^3} = a$. В результате получаем $a\sqrt[3]{a}$. Ответ: $a\sqrt[3]{a}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{m^7}$. Показатель корня равен 5. Представим степень под корнем $m^7$ в виде произведения. Для этого разделим показатель степени 7 на показатель корня 5: $7 \div 5 = 1$ с остатком 2. Это означает, что $m^7 = m^{5 \cdot 1 + 2} = m^5 \cdot m^2$. Тогда $\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5}\sqrt[5]{m^2}$. Поскольку $m \ge 0$, то $\sqrt[5]{m^5} = m$. Таким образом, итоговое выражение равно $m\sqrt[5]{m^2}$. Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$

г) В выражении $\sqrt[4]{n^{13}}$ показатель корня равен 4. Чтобы вынести множитель из-под знака корня, разделим показатель степени 13 на показатель корня 4. Получаем $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Это позволяет нам представить $n^{13}$ как $n^{4 \cdot 3} \cdot n^1 = (n^3)^4 \cdot n$. Теперь мы можем переписать исходное выражение: $\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n} = \sqrt[4]{(n^3)^4}\sqrt[4]{n}$. Так как по условию $n \ge 0$, то $\sqrt[4]{(n^3)^4} = n^3$. Окончательный результат: $n^3\sqrt[4]{n}$. Ответ: $n^3\sqrt[4]{n}$

7.5. a) $\sqrt{25a^3};$

б) $\sqrt[4]{405a^5};$

в) $\sqrt[3]{24x^3};$

г) $\sqrt[5]{160m^{10}}.$

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{25a^3}$ необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами.

Число 25 является полным квадратом: $25 = 5^2$.

Степень $a^3$ можно представить как $a^3 = a^2 \cdot a$.

Таким образом, выражение можно переписать: $\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a}$.

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), выносим множители:

$\sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = 5a\sqrt{a}$.

Заметим, что исходное выражение $\sqrt{25a^3}$ определено при $a^3 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$. Поэтому $\sqrt{a^2} = |a| = a$.

Ответ: $5a\sqrt{a}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[4]{405a^5}$. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, которые можно представить в виде четвертой степени.

Разложим число 405 на множители: $405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$.

Степень $a^5$ можно представить как $a^5 = a^4 \cdot a$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot a}$.

Сгруппируем множители, являющиеся четвертыми степенями, и вынесем их из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$:

$\sqrt[4]{(3^4 \cdot a^4) \cdot (5a)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = 3a\sqrt[4]{5a}$.

Выражение $\sqrt[4]{405a^5}$ определено при $a^5 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$. Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = |a| = a$.

Ответ: $3a\sqrt[4]{5a}$.

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{24x^3}$. Вынесем множители из-под знака кубического корня. Для этого представим подкоренное выражение как произведение множителей, являющихся полными кубами.

Разложим число 24 на множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Множитель $x^3$ уже является полным кубом.

Перепишем выражение:

$\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot x^3}$.

Сгруппируем множители в кубе и вынесем их из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(2^3 \cdot x^3) \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2x\sqrt[3]{3}$.

Так как корень нечетной степени ($\sqrt[3]{...}$), он определен для любых действительных значений $x$, и $\sqrt[3]{x^3} = x$.

Ответ: $2x\sqrt[3]{3}$.

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{160m^{10}}$. Разложим подкоренное выражение на множители, которые являются пятыми степенями.

Разложим число 160 на множители: $160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.

Степень $m^{10}$ можно представить как пятую степень: $m^{10} = (m^2)^5$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5 \cdot (m^2)^5}$.

Сгруппируем множители, являющиеся пятыми степенями, и вынесем их из-под знака корня:

$\sqrt[5]{(2^5 \cdot (m^2)^5) \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(m^2)^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2m^2\sqrt[5]{5}$.

Корень нечетной степени определен для любых действительных $m$, и $\sqrt[5]{(m^2)^5} = m^2$.

Ответ: $2m^2\sqrt[5]{5}$.

7.6. a) $\sqrt{75t^4r^3}$;

б) $\sqrt[4]{256a^9b^{13}}$;

в) $\sqrt[3]{250x^4y^7}$;

г) $\sqrt[5]{320m^{11}n^{15}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{75t^4r^3} $, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы из некоторых из них можно было извлечь квадратный корень (то есть представить их в виде квадратов).
1. Разложим числовой коэффициент: $ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 $.
2. Разложим степени переменных: $ t^4 = (t^2)^2 $; $ r^3 = r^2 \cdot r $.
3. Перепишем исходное выражение: $ \sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{5^2 \cdot 3 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2 \cdot r} $.
4. Сгруппируем множители, являющиеся точными квадратами: $ \sqrt{(5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2) \cdot (3r)} $.
5. Применяя свойство корня $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, вынесем множители. Заметим, что для существования корня необходимо, чтобы $ r^3 \ge 0 $, что означает $ r \ge 0 $. Поэтому $ \sqrt{r^2} = |r| = r $.
$ \sqrt{5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2} \cdot \sqrt{3r} = 5 \cdot t^2 \cdot r \cdot \sqrt{3r} = 5t^2r\sqrt{3r} $.

Ответ: $ 5t^2r\sqrt{3r} $.

б) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[4]{256a^9b^{13}} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными четвертыми степенями.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 256 = 4^4 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 4: $ a^9 = a^8 \cdot a = (a^2)^4 \cdot a $; $ b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^3)^4 \cdot b $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[4]{256a^9b^{13}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (a^2)^4 \cdot a \cdot (b^3)^4 \cdot b} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители из-под корня. Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ a^9b^{13} \ge 0 $. Это возможно, если $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $ (или $ a \le 0 $ и $ b \le 0 $). В школьном курсе обычно предполагается, что переменные неотрицательны, поэтому $ \sqrt[4]{(a^2)^4}=a^2 $ и $ \sqrt[4]{(b^3)^4}=b^3 $.
$ \sqrt[4]{(4^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^3)^4) \cdot (ab)} = 4a^2b^3\sqrt[4]{ab} $.

Ответ: $ 4a^2b^3\sqrt[4]{ab} $.

в) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[3]{250x^4y^7} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными кубами.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 3: $ x^4 = x^3 \cdot x $; $ y^7 = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot (y^2)^3 \cdot y} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители. Для корня нечетной степени нет ограничений на знак подкоренного выражения.
$ \sqrt[3]{(5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2xy)} = 5 \cdot x \cdot y^2 \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy^2\sqrt[3]{2xy} $.

Ответ: $ 5xy^2\sqrt[3]{2xy} $.

г) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[5]{320m^{11}n^{15}} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными пятыми степенями.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot 10 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 5: $ m^{11} = m^{10} \cdot m = (m^2)^5 \cdot m $; $ n^{15} = (n^3)^5 $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[5]{320m^{11}n^{15}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 10 \cdot (m^2)^5 \cdot m \cdot (n^3)^5} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители. Корень нечетной степени, поэтому ограничений на знак нет.
$ \sqrt[5]{(2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot (n^3)^5) \cdot (10m)} = 2 \cdot m^2 \cdot n^3 \cdot \sqrt[5]{10m} = 2m^2n^3\sqrt[5]{10m} $.

Ответ: $ 2m^2n^3\sqrt[5]{10m} $.