Номер 7.3, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.3, страница 38.

7.3. a) $\sqrt[4]{80}$;

б) $\sqrt[4]{160}$;

в) $\sqrt[4]{405}$;

г) $\sqrt[4]{486}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{80}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.
Разложим число 80 на простые множители: $80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$.
Мы видим, что 80 можно представить как произведение $16 \cdot 5$, где $16 = 2^4$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

б) Для выражения $\sqrt[4]{160}$ проделаем аналогичные действия. Разложим число 160 на множители.
$160 = 16 \cdot 10$.
Число 16 является четвертой степенью числа 2 ($16 = 2^4$).
Следовательно, мы можем вынести его из-под знака корня четвертой степени.
$\sqrt[4]{160} = \sqrt[4]{16 \cdot 10} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10} = 2\sqrt[4]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{10}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[4]{405}$. Разложим подкоренное число 405 на множители.
Заметим, что число 405 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$405 = 5 \cdot 81$.
Число 81 является четвертой степенью числа 3 ($81 = 3^4$).
Подставим это в выражение:
$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{5}$.

г) Для выражения $\sqrt[4]{486}$ найдем множитель, который является точной четвертой степенью.
Разложим 486 на простые множители. Число четное, делим на 2:
$486 = 2 \cdot 243$.
Сумма цифр числа 243 равна $2+4+3=9$, значит, оно делится на 3.
$243 = 3 \cdot 81$.
Число 81, как мы уже знаем, это $3^4$.
Таким образом, $486 = 2 \cdot 3 \cdot 81 = 6 \cdot 3^4$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{486} = \sqrt[4]{81 \cdot 6} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{6} = 3\sqrt[4]{6}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{6}$.