Номер 7.4, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.4, страница 38.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

7.4. a) $\sqrt{x^3}$;
б) $\sqrt[3]{a^4}$;
в) $\sqrt[5]{m^7}$;
г) $\sqrt[4]{n^{13}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{x^3}$, представим подкоренное выражение $x^3$ в виде произведения такого, чтобы один из множителей был полным квадратом. Мы можем записать $x^3$ как $x^2 \cdot x$. Тогда, используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$), получим: $\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x}$. По условию переменная $x$ неотрицательна, поэтому $\sqrt{x^2} = x$. Таким образом, выражение упрощается до $x\sqrt{x}$. Ответ: $x\sqrt{x}$

б) В выражении $\sqrt[3]{a^4}$ показатель корня равен 3. Чтобы вынести множитель, представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения, где один из множителей является степенью с показателем, кратным 3. Так как $4 = 3 + 1$, то $a^4 = a^3 \cdot a^1 = a^3 \cdot a$. Применяя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{a}$. Так как $a \ge 0$, то $\sqrt[3]{a^3} = a$. В результате получаем $a\sqrt[3]{a}$. Ответ: $a\sqrt[3]{a}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{m^7}$. Показатель корня равен 5. Представим степень под корнем $m^7$ в виде произведения. Для этого разделим показатель степени 7 на показатель корня 5: $7 \div 5 = 1$ с остатком 2. Это означает, что $m^7 = m^{5 \cdot 1 + 2} = m^5 \cdot m^2$. Тогда $\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5}\sqrt[5]{m^2}$. Поскольку $m \ge 0$, то $\sqrt[5]{m^5} = m$. Таким образом, итоговое выражение равно $m\sqrt[5]{m^2}$. Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$

г) В выражении $\sqrt[4]{n^{13}}$ показатель корня равен 4. Чтобы вынести множитель из-под знака корня, разделим показатель степени 13 на показатель корня 4. Получаем $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Это позволяет нам представить $n^{13}$ как $n^{4 \cdot 3} \cdot n^1 = (n^3)^4 \cdot n$. Теперь мы можем переписать исходное выражение: $\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n} = \sqrt[4]{(n^3)^4}\sqrt[4]{n}$. Так как по условию $n \ge 0$, то $\sqrt[4]{(n^3)^4} = n^3$. Окончательный результат: $n^3\sqrt[4]{n}$. Ответ: $n^3\sqrt[4]{n}$