Номер 7.11, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.11, страница 39.

7.11. a) $\frac{3}{4a^2}\sqrt[4]{256a^7b^3}$;

б) $-\frac{5}{c}\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}}.$

а)

Рассмотрим выражение $ \frac{3}{4a^2}\sqrt[4]{256a^7b^3} $.

Цель — вынести множители из-под знака корня и упростить выражение. Будем считать, что переменные принимают неотрицательные значения, при которых выражение имеет смысл.

1. Упростим подкоренное выражение $ \sqrt[4]{256a^7b^3} $. Для этого представим каждый множитель в виде степени с показателем, кратным 4, если это возможно.

Число 256 можно представить как $ 4^4 $ ($4 \cdot 4 = 16$, $16 \cdot 16 = 256$).
$ a^7 $ можно представить как $ a^4 \cdot a^3 $.
$ b^3 $ остается без изменений, так как его степень 3 меньше показателя корня 4.

Таким образом, корень принимает вид: $ \sqrt[4]{256a^7b^3} = \sqrt[4]{4^4 \cdot a^4 \cdot a^3 \cdot b^3} $.

2. Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $ \sqrt[n]{x^n \cdot y} = x \sqrt[n]{y} $ (при $ x \ge 0 $). $ \sqrt[4]{4^4 \cdot a^4 \cdot a^3 b^3} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = 4a\sqrt[4]{a^3b^3} $.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное: $ \frac{3}{4a^2} \cdot 4a\sqrt[4]{a^3b^3} $.

4. Сократим полученную дробь: $ \frac{3 \cdot 4a \cdot \sqrt[4]{a^3b^3}}{4a^2} $.

Сокращаем $ 4 $ в числителе и знаменателе.
Сокращаем $ a $ в числителе и $ a^2 $ в знаменателе ($ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $).

В результате получаем: $ \frac{3\sqrt[4]{a^3b^3}}{a} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt[4]{a^3b^3}}{a} $.

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{5}{c}\sqrt[3]{-\frac{c^5d^8}{15625}} $.

1. Упростим выражение под знаком кубического корня. Во-первых, вынесем знак минус из-под корня нечетной степени, используя свойство $ \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} $: $ \frac{5}{c}\left(-\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}}\right) = -\frac{5}{c}\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}} $.

2. Теперь вынесем множители из-под знака корня $ \sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}} $. Представим числитель и знаменатель в виде степеней с показателями, кратными 3.

В числителе: $ c^5 = c^3 \cdot c^2 $.
$ d^8 = d^6 \cdot d^2 = (d^2)^3 \cdot d^2 $.

В знаменателе: $ 15625 = 25^3 $ ($25 \cdot 25 = 625$, $625 \cdot 25 = 15625$).

Подставляем эти представления в корень: $ \sqrt[3]{\frac{c^3 \cdot c^2 \cdot d^6 \cdot d^2}{25^3}} $.

3. Выносим множители из-под знака корня: $ \frac{\sqrt[3]{c^3} \cdot \sqrt[3]{d^6} \cdot \sqrt[3]{c^2d^2}}{\sqrt[3]{25^3}} = \frac{c \cdot d^2 \cdot \sqrt[3]{c^2d^2}}{25} $.

4. Подставляем упрощенный корень в исходное выражение (с учетом знака минус): $ -\frac{5}{c} \cdot \frac{cd^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{25} $.

5. Сокращаем полученное выражение: $ -\frac{5 \cdot c \cdot d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{c \cdot 25} $.

Сокращаем $ c $ в числителе и знаменателе (при $c \ne 0$).
Сокращаем $ 5 $ и $ 25 $ ($ \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $).

В результате получаем: $ -\frac{d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{5} $.

Ответ: $ -\frac{d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{5} $.