Номер 7.17, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.17, страница 40.

Преобразуйте заданное выражение к виду $ \sqrt[n]{A} $:

7.17. a) $ \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}} $;

в) $ \sqrt[4]{3\sqrt[3]{3\sqrt{3}}} $;

г) $ \sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}} $.

а) Для преобразования выражения $ \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} $ к виду $ \sqrt[n]{A} $ воспользуемся свойствами корней и степеней. Удобно представить корни в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $. Мы будем работать с выражением изнутри наружу.
1. Начнем с самой внутренней части: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.
2. Тогда $ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $.
3. Теперь рассмотрим корень третьей степени: $ \sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{(3/2) \cdot (1/3)} = 2^{1/2} $.
4. Подставим это в исходное выражение: $ \sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[3]{2\sqrt{2}}} = \sqrt[5]{2 \cdot 2^{1/2}} $.
5. Упростим выражение под корнем: $ 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $.
6. Окончательно получаем: $ \sqrt[5]{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/5} = 2^{(3/2) \cdot (1/5)} = 2^{3/10} $.
7. Запишем результат в виде корня: $ 2^{3/10} = \sqrt[10]{2^3} = \sqrt[10]{8} $.
Ответ: $ \sqrt[10]{8} $

б) Преобразуем выражение $ \sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}} $, используя степени с рациональными показателями. Для удобства введем замену $ a = \frac{4}{3} $. Тогда $ \frac{3}{4} = a^{-1} $.
Выражение примет вид: $ \sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^{-1}\sqrt{a}}} $.
Теперь запишем его с помощью степеней: $ \left( a \cdot \left( a^{-1} \cdot a^{1/2} \right)^{1/3} \right)^{1/4} $.
1. Упростим выражение в самой внутренней скобке: $ a^{-1} \cdot a^{1/2} = a^{-1 + 1/2} = a^{-1/2} $.
2. Подставим обратно и возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{-1/2})^{1/3} = a^{(-1/2) \cdot (1/3)} = a^{-1/6} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( a \cdot a^{-1/6} \right)^{1/4} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ a^1 \cdot a^{-1/6} = a^{1 - 1/6} = a^{5/6} $.
5. Возведем в степень $ 1/4 $: $ (a^{5/6})^{1/4} = a^{(5/6) \cdot (1/4)} = a^{5/24} $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a = \frac{4}{3} $: $ \left(\frac{4}{3}\right)^{5/24} = \sqrt[24]{\left(\frac{4}{3}\right)^5} $.
7. Вычислим значение под корнем: $ \left(\frac{4}{3}\right)^5 = \frac{4^5}{3^5} = \frac{1024}{243} $.
Ответ: $ \sqrt[24]{\frac{1024}{243}} $

в) Преобразуем выражение $ \sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}} $, используя степени с рациональными показателями.
Запишем все выражение в виде степеней: $ \left( 3 \cdot \left( 3 \cdot 3^{1/3} \right)^{1/4} \right)^{1/2} $.
1. Начнем с самой внутренней скобки: $ 3 \cdot 3^{1/3} = 3^{1 + 1/3} = 3^{4/3} $.
2. Подставим и возведем в степень $ 1/4 $: $ (3^{4/3})^{1/4} = 3^{(4/3) \cdot (1/4)} = 3^{1/3} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( 3 \cdot 3^{1/3} \right)^{1/2} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ 3 \cdot 3^{1/3} = 3^{1 + 1/3} = 3^{4/3} $.
5. Возведем в степень $ 1/2 $: $ (3^{4/3})^{1/2} = 3^{(4/3) \cdot (1/2)} = 3^{4/6} = 3^{2/3} $.
6. Запишем результат в виде корня: $ 3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{9} $

г) Преобразуем выражение $ \sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}} $. Аналогично пункту б), введем замену $ a = \frac{2}{3} $, тогда $ \frac{3}{2} = a^{-1} $.
Выражение примет вид: $ \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^{-1}\sqrt{a}}} $.
Запишем его с помощью степеней: $ \left( a \cdot \left( a^{-1} \cdot a^{1/2} \right)^{1/3} \right)^{1/3} $.
1. Упростим выражение в самой внутренней скобке: $ a^{-1} \cdot a^{1/2} = a^{-1 + 1/2} = a^{-1/2} $.
2. Подставим обратно и возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{-1/2})^{1/3} = a^{(-1/2) \cdot (1/3)} = a^{-1/6} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( a \cdot a^{-1/6} \right)^{1/3} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ a^1 \cdot a^{-1/6} = a^{1 - 1/6} = a^{5/6} $.
5. Возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{5/6})^{1/3} = a^{(5/6) \cdot (1/3)} = a^{5/18} $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a = \frac{2}{3} $: $ \left(\frac{2}{3}\right)^{5/18} = \sqrt[18]{\left(\frac{2}{3}\right)^5} $.
7. Вычислим значение под корнем: $ \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} $.
Ответ: $ \sqrt[18]{\frac{32}{243}} $