Номер 7.21, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.21, страница 40.

7.21. a) $\sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8};$

б) $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt[3]{x^3y}.$

а) Для упрощения данного выражения необходимо сначала упростить каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $\sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$

1. Упростим каждый корень по отдельности:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$
• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$5\sqrt{2} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые (те, которые имеют одинаковую подкоренную часть и одинаковый показатель корня):

$(5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3})$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:

$(5 - 6 + 2)\sqrt{2} + (-1 + 2)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

б) Для упрощения данного выражения необходимо упростить каждый член, используя свойства корней, а затем привести подобные слагаемые. Предполагаем, что переменные $x$ и $y$ таковы, что все выражения имеют смысл ($x > 0, y \ge 0$).

Исходное выражение: $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$

1. Упростим каждый член выражения по отдельности:

• $\sqrt{9xy} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{xy} = 3\sqrt{xy}$
• $\sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$
• $\frac{7}{x}\sqrt{x^3y} = \frac{7}{x}\sqrt{x^2 \cdot x \cdot y} = \frac{7}{x} \cdot |x|\sqrt{xy}$. Так как по области определения $x > 0$, то $|x|=x$. Следовательно, $\frac{7}{x} \cdot x\sqrt{xy} = 7\sqrt{xy}$

2. Подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} - \sqrt[4]{x} + 7\sqrt{xy}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $\sqrt[4]{x}$ и слагаемые с $\sqrt{xy}$):

$(6\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{x}) + (\sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} + 7\sqrt{xy})$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:

$(6 - 1)\sqrt[4]{x} + (1 - 3 + 7)\sqrt{xy} = 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$

Ответ: $5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$.