Номер 7.26, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.26, страница 41.

Разложите на множители:

7.26. a) $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x}$;

б) $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3}$;

в) $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4}$;

г) $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}$.

а) Дано выражение $ \sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x} $.

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $ \sqrt{2} $, и члены, содержащие $ \sqrt{3} $.

$ (\sqrt{2x} + \sqrt{2y}) + (-\sqrt{3y} - \sqrt{3x}) = (\sqrt{2x} + \sqrt{2y}) - (\sqrt{3x} + \sqrt{3y}) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \sqrt{2}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{3}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $

Теперь мы видим общий множитель $ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $, который можно вынести за скобки:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) $

Ответ: $ (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) $.

б) Дано выражение $ \sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3} $.

Упростим некоторые слагаемые, используя свойство корня $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $:

$ \sqrt[3]{4x^2} = \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} $

$ \sqrt[4]{2y^3} = \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3} $

Подставим эти выражения обратно в исходное:

$ \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2} \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3} $

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$ (\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2} \sqrt[3]{x^2}) - (\sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} + \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}) $

Вынесем общие множители $ \sqrt[3]{x^2} $ из первой группы и $ \sqrt[4]{y^3} $ из второй:

$ \sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{y^3}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $ за скобки:

$ (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $

Ответ: $ (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $.

в) Дано выражение $ \sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4} $.

Упростим подкоренные выражения, вынеся множители из-под знака корня, используя свойство $ \sqrt[n]{x^n y} = x\sqrt[n]{y} $ (для неотрицательных x):

$ \sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a} $

$ \sqrt[3]{ab^3} = b\sqrt[3]{a} $

$ \sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b} $

$ \sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b\sqrt[3]{b} $

Выражение принимает вид:

$ a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{b} $

Сгруппируем слагаемые с $ \sqrt[3]{a} $ и с $ \sqrt[3]{b} $:

$ (a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a}) - (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{b}) $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \sqrt[3]{a}(a + b) - \sqrt[3]{b}(a + b) $

Вынесем общий множитель $ (a + b) $ за скобки:

$ (a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $

Ответ: $ (a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $.

г) Дано выражение $ b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b} $.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$ (b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) + (\sqrt{ab} - ab) $

Вынесем общий множитель из каждой группы. Для первой группы $ (b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) $, общий множитель $ b\sqrt{a} $. Получаем:

$ b\sqrt{a}(1 - \sqrt{a}\sqrt{b}) = b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) $

Для второй группы $ (\sqrt{ab} - ab) $, общий множитель $ \sqrt{ab} $. Получаем:

$ \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab}) $

Теперь выражение выглядит так:

$ b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab}) $

Вынесем общий множитель $ (1 - \sqrt{ab}) $ за скобки:

$ (1 - \sqrt{ab})(b\sqrt{a} + \sqrt{ab}) $

Во второй скобке $ (b\sqrt{a} + \sqrt{ab}) $ можно вынести общий множитель $ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $, если представить $ b = \sqrt{b}\sqrt{b} $:

$ b\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $

Или можно вынести $ \sqrt{a} $: $ \sqrt{a}(b + \sqrt{b}) = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{b} + 1) = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $.

Подставим это в наше выражение:

$ (1 - \sqrt{ab})\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $

Запишем множители в более стандартном порядке:

$ \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab}) $

Ответ: $ \sqrt{ab}(1 + \sqrt{b})(1 - \sqrt{ab}) $.