Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Выполните действия:

7.24. a) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2$;

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2$;

в) $(a^2 - \sqrt{a})^2$;

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2$.

а) Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = 2\sqrt[3]{n}$.
Подставим эти значения в формулу: $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot (2\sqrt[3]{n}) + (2\sqrt[3]{n})^2$
Теперь упростим каждый член выражения:
$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$
$2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$
$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$
Собираем все вместе: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$

б) Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
Упростим: $(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Произведение $2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3}$ упростить нельзя, так как корни имеют разные степени.
В итоге получаем: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$
Ответ: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$

в) Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом случае первый член равен $a^2$, а второй член равен $\sqrt{a}$.
$(a^2 - \sqrt{a})^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$
Выполним возведение в степень и умножение: $(a^2)^2 = a^4$
$(\sqrt{a})^2 = a$
Собираем выражение: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$
Ответ: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$

г) Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = \sqrt[3]{4}$ и $b = 2\sqrt{2}$.
$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{4})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2$
Упростим каждый член по отдельности:
$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$
$2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt[3]{4}\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/2} = 4 \cdot 2^{2/3 + 1/2} = 4 \cdot 2^{7/6} = 4 \cdot 2^{1+1/6} = 4 \cdot 2 \cdot 2^{1/6} = 8\sqrt[6]{2}$
$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$
Ответ: $2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$

7.25. a) $(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b});$

Б) $(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l});$

В) $(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n});$

Г) $(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y}).$

а) Чтобы выполнить деление $(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b})$, представим выражение $(a-b)$ как разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь выполним деление, записав его в виде дроби:
$\frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.
Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

б) Чтобы выполнить деление $(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})$, представим выражение $(k+l)$ как сумму кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \sqrt[3]{k}$ и $y = \sqrt[3]{l}$.
$k + l = (\sqrt[3]{k})^3 + (\sqrt[3]{l})^3 = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})((\sqrt[3]{k})^2 - \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{l} + (\sqrt[3]{l})^2) = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{k + l}{\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}} = \frac{(\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})}{\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.

в) Чтобы выполнить деление $(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})$, представим выражение $(m-n)$ как разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = \sqrt[3]{n}$.
$m - n = (\sqrt[3]{m})^3 - (\sqrt[3]{n})^3 = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})((\sqrt[3]{m})^2 + \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2) = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{m - n}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}} = \frac{(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.

г) Чтобы выполнить деление $(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$, представим выражение $(x - 4y)$ как разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 2\sqrt{y}$.
$x - 4y = (\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{x - 4y}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.
Ответ: $\sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.

Разложите на множители:

7.26. a) $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x}$;

б) $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3}$;

в) $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4}$;

г) $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}$.

а) Дано выражение $ \sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x} $.

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $ \sqrt{2} $, и члены, содержащие $ \sqrt{3} $.

$ (\sqrt{2x} + \sqrt{2y}) + (-\sqrt{3y} - \sqrt{3x}) = (\sqrt{2x} + \sqrt{2y}) - (\sqrt{3x} + \sqrt{3y}) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \sqrt{2}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{3}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $

Теперь мы видим общий множитель $ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $, который можно вынести за скобки:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) $

Ответ: $ (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) $.

б) Дано выражение $ \sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3} $.

Упростим некоторые слагаемые, используя свойство корня $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $:

$ \sqrt[3]{4x^2} = \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} $

$ \sqrt[4]{2y^3} = \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3} $

Подставим эти выражения обратно в исходное:

$ \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2} \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3} $

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$ (\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2} \sqrt[3]{x^2}) - (\sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} + \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}) $

Вынесем общие множители $ \sqrt[3]{x^2} $ из первой группы и $ \sqrt[4]{y^3} $ из второй:

$ \sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{y^3}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $ за скобки:

$ (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $

Ответ: $ (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) $.

в) Дано выражение $ \sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4} $.

Упростим подкоренные выражения, вынеся множители из-под знака корня, используя свойство $ \sqrt[n]{x^n y} = x\sqrt[n]{y} $ (для неотрицательных x):

$ \sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a} $

$ \sqrt[3]{ab^3} = b\sqrt[3]{a} $

$ \sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b} $

$ \sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b\sqrt[3]{b} $

Выражение принимает вид:

$ a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{b} $

Сгруппируем слагаемые с $ \sqrt[3]{a} $ и с $ \sqrt[3]{b} $:

$ (a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a}) - (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{b}) $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \sqrt[3]{a}(a + b) - \sqrt[3]{b}(a + b) $

Вынесем общий множитель $ (a + b) $ за скобки:

$ (a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $

Ответ: $ (a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $.

г) Дано выражение $ b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b} $.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$ (b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) + (\sqrt{ab} - ab) $

Вынесем общий множитель из каждой группы. Для первой группы $ (b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) $, общий множитель $ b\sqrt{a} $. Получаем:

$ b\sqrt{a}(1 - \sqrt{a}\sqrt{b}) = b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) $

Для второй группы $ (\sqrt{ab} - ab) $, общий множитель $ \sqrt{ab} $. Получаем:

$ \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab}) $

Теперь выражение выглядит так:

$ b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab}) $

Вынесем общий множитель $ (1 - \sqrt{ab}) $ за скобки:

$ (1 - \sqrt{ab})(b\sqrt{a} + \sqrt{ab}) $

Во второй скобке $ (b\sqrt{a} + \sqrt{ab}) $ можно вынести общий множитель $ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $, если представить $ b = \sqrt{b}\sqrt{b} $:

$ b\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $

Или можно вынести $ \sqrt{a} $: $ \sqrt{a}(b + \sqrt{b}) = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{b} + 1) = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $.

Подставим это в наше выражение:

$ (1 - \sqrt{ab})\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1) $

Запишем множители в более стандартном порядке:

$ \sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab}) $

Ответ: $ \sqrt{ab}(1 + \sqrt{b})(1 - \sqrt{ab}) $.

7.27. a) $\sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6;$

б) $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6;$

в) $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12;$

г) $2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1.$

а)

Данное выражение $\sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6$ можно разложить на множители, приведя его к виду квадратного трехчлена. Заметим, что $\sqrt[4]{m} = (m^{1/4}) = (m^{1/8})^2 = (\sqrt[8]{m})^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{m}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$t^2 - t - 6$

Чтобы разложить этот квадратный трехчлен на множители, найдем его корни, решив уравнение $t^2 - t - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -6$. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $(t - t_1)(t - t_2)$. Подставив найденные корни, получим:

$(t - 3)(t - (-2)) = (t - 3)(t + 2)$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $\sqrt[8]{m}$:

$(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

Ответ: $(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6$. Заметим, что $\sqrt{m} = (m^{1/2}) = (m^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{m})^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{m}$. Тогда выражение преобразуется в следующий квадратный трехчлен:

$t^2 + 5t + 6$

Найдем корни уравнения $t^2 + 5t + 6 = 0$ для разложения на множители.

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -5$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Отсюда находим корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.

Разложим трехчлен на множители:

$(t - (-2))(t - (-3)) = (t + 2)(t + 3)$

Выполним обратную замену, подставив $t = \sqrt[4]{m}$:

$(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

Ответ: $(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12$. Так как $\sqrt[5]{a} = (a^{1/5}) = (a^{1/10})^2 = (\sqrt[10]{a})^2$, мы можем использовать замену переменной.

Пусть $t = \sqrt[10]{a}$. Исходное выражение принимает вид:

$t^2 + 7t + 12$

Решим квадратное уравнение $t^2 + 7t + 12 = 0$, чтобы найти его корни.

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -7$ и $t_1 \cdot t_2 = 12$. Корнями являются $t_1 = -3$ и $t_2 = -4$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$(t - (-3))(t - (-4)) = (t + 3)(t + 4)$

Вернемся к исходной переменной, выполнив обратную замену $t = \sqrt[10]{a}$:

$(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

Ответ: $(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

г)

Рассмотрим выражение $2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1$. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (x^{1/3}) = (x^{1/6})^2 = (\sqrt[6]{x})^2$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда выражение можно записать в виде:

$2t^2 - t - 1$

Для разложения на множители решим квадратное уравнение $2t^2 - t - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае:

$2(t - 1)(t - (-\frac{1}{2})) = 2(t-1)(t+\frac{1}{2}) = (t-1)(2t+1)$

Выполним обратную замену $t = \sqrt[6]{x}$:

$(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$

Ответ: $(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$

Сократите дроби, считая, что переменные принимают не-отрицательные значения:

7.28. a) $\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}} $;

б) $\frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}} $;

в) $\frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}} $;

г) $\frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе. Для этого разложим подкоренные выражения на множители.
Числитель: $ \sqrt{10b} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2b} - \sqrt{5 \cdot 3} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ \sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3}) $.
Знаменатель: $ \sqrt{15b} - \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 3b} - \sqrt{5 \cdot 1} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ \sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1) $.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt{5} $:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе.
Числитель: $ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x \cdot x} - \sqrt[3]{x \cdot y} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ за скобки: $ \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x \cdot 1} - \sqrt[3]{x \cdot y} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ за скобки: $ \sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ (при условии $ x \neq 0 $):
$ \frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}} $.

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе, разложив подкоренные выражения.
Числитель: $ \sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k} = \sqrt[4]{7 \cdot 2} + \sqrt[4]{7 \cdot 3k} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{7} $ за скобки: $ \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{7 \cdot k} - \sqrt[4]{7 \cdot 2} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{7} $ за скобки: $ \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[4]{7} $:
$ \frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}} $.

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе.
Числитель: $ \sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a \cdot a} - \sqrt[4]{a \cdot d} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ за скобки: $ \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{a \cdot 3} - \sqrt[4]{a \cdot ad} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ за скобки: $ \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ (при условии $ a \neq 0 $):
$ \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})} = \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}} $.

7.29. a) $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$;

в) $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$;

г) $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.

а) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $
Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности. Заметим, что $ \sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 $ и $ \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2 $.
Таким образом, числитель можно переписать в виде: $ (\sqrt[4]{a})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $
Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $ \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $
При условии, что $ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}) $.
$ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} $
Ответ: $ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} $

б) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{\sqrt{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}} $
Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе: $ 4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2} $.
Перепишем его, изменив порядок слагаемых: $ \sqrt[3]{m^2} + 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2} $.
Это выражение является полным квадратом суммы. Заметим, что $ \sqrt[3]{m^2} = (\sqrt[3]{m})^2 $ и $ 4\sqrt[3]{n^2} = (2\sqrt[3]{n})^2 $. Средний член $ 4\sqrt[3]{mn} = 2 \cdot (\sqrt[3]{m}) \cdot (2\sqrt[3]{n}) $.
Следовательно, подкоренное выражение равно $ (\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2 $.
Знаменатель принимает вид: $ \sqrt{(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2} = |\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}| $.
Всё выражение становится: $ \frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{|\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}|} $
В подобных задачах обычно предполагается, что выражения под знаком модуля положительны. Если $ \sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n} > 0 $, то $ |\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}| = \sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n} $, и выражение равно 1.
Ответ: $1$

в) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b} $
Знаменатель дроби представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $ \sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 $ и $ b = (\sqrt{b})^2 $.
Проверим средний член: $ 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} = 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b^2} = 2\sqrt[4]{ab^2} $. Он совпадает со средним членом в знаменателе.
Таким образом, знаменатель можно записать как: $ (\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 $
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2} $
При условии, что $ a, b \ge 0 $ и не равны нулю одновременно, $ \sqrt[4]{a} + \sqrt{b} \neq 0 $, и мы можем сократить дробь.
$ \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $

г) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $
Числитель дроби представляет собой полный квадрат суммы. Давайте проверим это.
Заметим, что $ \sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 = (a\sqrt{a})^2 $.
Теперь проверим средний член. Если наши слагаемые - это $ \sqrt[4]{b} $ и $ a\sqrt{a} $, то удвоенное произведение будет: $ 2 \cdot \sqrt[4]{b} \cdot a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}\sqrt[4]{b} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a^{3/2}b^{1/4} $
Преобразуем средний член из условия: $ 2a\sqrt[4]{a^2b} = 2a(a^2b)^{1/4} = 2a \cdot a^{2/4} \cdot b^{1/4} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a^{3/2}b^{1/4} $
Средние члены совпадают. Следовательно, числитель равен $ (\sqrt[4]{b} + a\sqrt{a})^2 $.
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{(\sqrt[4]{b} + a\sqrt{a})^2}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $
Сократив дробь на $ (a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}) $, получим: $ a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b} $
Ответ: $ a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b} $

7.30. a) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1}$;

В) $\frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$;

Г) $\frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $, представим корни в виде степеней с рациональными показателями.

$ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3} $, $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $, $ \sqrt[3]{b} = b^{1/3} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{1/2} - b^{2/3}}{a^{1/4} - b^{1/3}} $

Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $ a^{1/2} = (a^{1/4})^2 $ и $ b^{2/3} = (b^{1/3})^2 $. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ a^{1/2} - b^{2/3} = (a^{1/4})^2 - (b^{1/3})^2 = (a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3}) $

Подставим это в исходную дробь:

$ \frac{(a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3})}{a^{1/4} - b^{1/3}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a^{1/4} - b^{1/3}) $:

$ a^{1/4} + b^{1/3} $

Теперь вернемся к записи с корнями:

$ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $

Ответ: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1} $. Перейдем к степеням с рациональными показателями:

$ \frac{x^{9/5} - 1}{x^{3/5} - 1} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^{3/5} $. Тогда $ x^{9/5} = (x^{3/5})^3 = y^3 $. Выражение примет вид:

$ \frac{y^3 - 1}{y - 1} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y-1} $

Сократим дробь на $ (y-1) $:

$ y^2 + y + 1 $

Выполним обратную замену $ y = x^{3/5} $:

$ (x^{3/5})^2 + x^{3/5} + 1 = x^{6/5} + x^{3/5} + 1 $

Представим результат в виде корней:

$ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $

Выражение $ \sqrt[5]{x^6} $ можно также записать как $ x\sqrt[5]{x} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $.

в)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $. Представим его в виде степеней:

$ \sqrt{b} = b^{1/2} $, $ a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2} $, $ \sqrt[4]{b} = b^{1/4} $.

Получаем дробь:

$ \frac{b^{1/2} - a^3}{a^{3/2} + b^{1/4}} $

В числителе видим разность квадратов, так как $ b^{1/2} = (b^{1/4})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 $.

$ b^{1/2} - a^3 = (b^{1/4})^2 - (a^{3/2})^2 = (b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2}) $

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{(b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2})}{a^{3/2} + b^{1/4}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a^{3/2} + b^{1/4}) $:

$ b^{1/4} - a^{3/2} $

Переведем обратно в вид корней:

$ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $.

г)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}} $. Перейдем к степеням:

$ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ b\sqrt{b} = b^1 \cdot b^{1/2} = b^{3/2} $, $ \sqrt[6]{a} = a^{1/6} $, $ \sqrt{b} = b^{1/2} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{1/2} - b^{3/2}}{a^{1/6} - b^{1/2}} $

Числитель представляет собой разность кубов, так как $ a^{1/2} = (a^{1/6})^3 $ и $ b^{3/2} = (b^{1/2})^3 $.

Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $ x = a^{1/6} $ и $ y = b^{1/2} $:

$ a^{1/2} - b^{3/2} = (a^{1/6} - b^{1/2})((a^{1/6})^2 + a^{1/6}b^{1/2} + (b^{1/2})^2) = (a^{1/6} - b^{1/2})(a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b) $

Подставим это в дробь:

$ \frac{(a^{1/6} - b^{1/2})(a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b)}{a^{1/6} - b^{1/2}} $

Сократим общий множитель $ (a^{1/6} - b^{1/2}) $:

$ a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b $

Вернемся к записи с корнями:

$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $

Ответ: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $.