Номер 7.30, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.30, страница 41.

7.30. a) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1}$;

В) $\frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$;

Г) $\frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $, представим корни в виде степеней с рациональными показателями.

$ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3} $, $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $, $ \sqrt[3]{b} = b^{1/3} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{1/2} - b^{2/3}}{a^{1/4} - b^{1/3}} $

Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $ a^{1/2} = (a^{1/4})^2 $ и $ b^{2/3} = (b^{1/3})^2 $. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ a^{1/2} - b^{2/3} = (a^{1/4})^2 - (b^{1/3})^2 = (a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3}) $

Подставим это в исходную дробь:

$ \frac{(a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3})}{a^{1/4} - b^{1/3}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a^{1/4} - b^{1/3}) $:

$ a^{1/4} + b^{1/3} $

Теперь вернемся к записи с корнями:

$ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $

Ответ: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1} $. Перейдем к степеням с рациональными показателями:

$ \frac{x^{9/5} - 1}{x^{3/5} - 1} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^{3/5} $. Тогда $ x^{9/5} = (x^{3/5})^3 = y^3 $. Выражение примет вид:

$ \frac{y^3 - 1}{y - 1} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y-1} $

Сократим дробь на $ (y-1) $:

$ y^2 + y + 1 $

Выполним обратную замену $ y = x^{3/5} $:

$ (x^{3/5})^2 + x^{3/5} + 1 = x^{6/5} + x^{3/5} + 1 $

Представим результат в виде корней:

$ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $

Выражение $ \sqrt[5]{x^6} $ можно также записать как $ x\sqrt[5]{x} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $.

в)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $. Представим его в виде степеней:

$ \sqrt{b} = b^{1/2} $, $ a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2} $, $ \sqrt[4]{b} = b^{1/4} $.

Получаем дробь:

$ \frac{b^{1/2} - a^3}{a^{3/2} + b^{1/4}} $

В числителе видим разность квадратов, так как $ b^{1/2} = (b^{1/4})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 $.

$ b^{1/2} - a^3 = (b^{1/4})^2 - (a^{3/2})^2 = (b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2}) $

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{(b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2})}{a^{3/2} + b^{1/4}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a^{3/2} + b^{1/4}) $:

$ b^{1/4} - a^{3/2} $

Переведем обратно в вид корней:

$ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $.

г)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}} $. Перейдем к степеням:

$ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ b\sqrt{b} = b^1 \cdot b^{1/2} = b^{3/2} $, $ \sqrt[6]{a} = a^{1/6} $, $ \sqrt{b} = b^{1/2} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{1/2} - b^{3/2}}{a^{1/6} - b^{1/2}} $

Числитель представляет собой разность кубов, так как $ a^{1/2} = (a^{1/6})^3 $ и $ b^{3/2} = (b^{1/2})^3 $.

Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $ x = a^{1/6} $ и $ y = b^{1/2} $:

$ a^{1/2} - b^{3/2} = (a^{1/6} - b^{1/2})((a^{1/6})^2 + a^{1/6}b^{1/2} + (b^{1/2})^2) = (a^{1/6} - b^{1/2})(a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b) $

Подставим это в дробь:

$ \frac{(a^{1/6} - b^{1/2})(a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b)}{a^{1/6} - b^{1/2}} $

Сократим общий множитель $ (a^{1/6} - b^{1/2}) $:

$ a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b $

Вернемся к записи с корнями:

$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $

Ответ: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $.