Номер 7.33, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.33, страница 42.

Расположите числа в порядке возрастания:

7.33. а) $\sqrt{3}$; $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;

б) $\sqrt[5]{4}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;

в) $\sqrt[5]{3}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;

г) $\sqrt[3]{4}$; $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$.

а)

Чтобы расположить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 2, 3 и 6 равно 6. Приведем все корни к показателю 6:

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Третье число $\sqrt[6]{18}$ уже имеет показатель 6.

Теперь сравним подкоренные выражения полученных корней: $16 < 18 < 27$.

Поскольку показатели корней одинаковы, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, $\sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{18} < \sqrt[6]{27}$.

Это означает, что исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt[3]{4} < \sqrt[6]{18} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}; \sqrt[6]{18}; \sqrt{3}$.

б)

Чтобы расположить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Третье число $\sqrt[15]{40}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: $32 < 40 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[15]{64}$, что соответствует порядку $\sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[15]{40}; \sqrt[5]{4}$.

в)

Чтобы расположить числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Третье число $\sqrt[15]{30}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: $27 < 30 < 32$.

Следовательно, $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[15]{32}$, что соответствует порядку $\sqrt[5]{3} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3}; \sqrt[15]{30}; \sqrt[3]{2}$.

г)

Чтобы расположить числа $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 3, 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 4]{4^4} = \sqrt[12]{256}$

$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$

$\sqrt[6]{12} = \sqrt[6 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[12]{144}$

Сравним подкоренные выражения: $125 < 144 < 256$.

Следовательно, $\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{144} < \sqrt[12]{256}$, что соответствует порядку $\sqrt[4]{5} < \sqrt[6]{12} < \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[4]{5}; \sqrt[6]{12}; \sqrt[3]{4}$.