Номер 7.39, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.39, страница 42.

7.39. a) $\frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}}$

б) $\frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}}$

В) $\frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}}$

Г) $\frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}}$

а)

Исходное выражение: $ \frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9} $ представляет собой неполный квадрат разности. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{25} = (\sqrt[3]{5})^2 $, $ \sqrt[3]{9} = (\sqrt[3]{3})^2 $ и $ \sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 - ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{5} $ и $ b = \sqrt[3]{3} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a+b) = (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}) $.
$ \frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}} = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}) \cdot (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})} = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{3})^3} $
$ = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{5 + 3} = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{8} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}{4} $.

б)

Исходное выражение: $ \frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4} $ представляет собой неполный квадрат суммы. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{16} = (\sqrt[3]{4})^2 $, $ \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 $ и $ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 + ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{4} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a-b) = (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}) $.
$ \frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}} = \frac{9 \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}) \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})} = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{4})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} $
$ = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{4 - 2} = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{2} $.
Ответ: $ \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{2} $.

в)

Исходное выражение: $ \frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49} $ представляет собой неполный квадрат суммы. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 $, $ \sqrt[3]{49} = (\sqrt[3]{7})^2 $ и $ \sqrt[3]{14} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{7} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 + ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{2} $ и $ b = \sqrt[3]{7} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a-b) = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.
$ \frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}} = \frac{-10 \cdot (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}) \cdot (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})} = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{7})^3} $
$ = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{2 - 7} = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{-5} = 2(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.
Ответ: $ 2(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.

г)

Исходное выражение: $ \frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} $ представляет собой неполный квадрат разности. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{36} = (\sqrt[3]{6})^2 $, $ \sqrt[3]{16} = (\sqrt[3]{4})^2 $ и $ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{4} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 - ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{6} $ и $ b = \sqrt[3]{4} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a+b) = (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) $.
$ \frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}) \cdot (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{4})^3} $
$ = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{6 + 4} = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{10} = \frac{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{2} $.