Номер 7.43, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.43, страница 43.

7.43. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}}$, если известно, что $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$.

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе данной дроби, воспользуемся предоставленным условием.

Обозначим коэффициент пропорциональности через $k^2$:$$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k^2 $$Мы используем $k^2$ для удобства, так как в дальнейшем будем извлекать квадратный корень. Из условия, что $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ находятся под знаком корня, следует, что они неотрицательны, а значит $k^2 \ge 0$.Из этого соотношения мы можем выразить $a, b, c$:$$ a = k^2 a_1 \implies \sqrt{a} = k \sqrt{a_1} $$$$ b = k^2 b_1 \implies \sqrt{b} = k \sqrt{b_1} $$$$ c = k^2 c_1 \implies \sqrt{c} = k \sqrt{c_1} $$(Мы считаем $k \ge 0$).

Теперь подставим эти выражения в знаменатель исходной дроби:$$ Z = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1} $$$$ Z = k\sqrt{a_1} + k\sqrt{b_1} + k\sqrt{c_1} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1} $$Вынесем общие множители:$$ Z = k(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) + 1 \cdot (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$$$ Z = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$Таким образом, исходная дробь принимает вид:$$ \frac{1}{(k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1})} $$Теперь необходимо избавиться от иррациональности в этом выражении. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $k^2 = 1$ (то есть $k=1$)

Если $k=1$, то $a=a_1$, $b=b_1$ и $c=c_1$. Знаменатель становится:$$ Z = (1+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) = 2(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Это делается в два этапа. Сначала домножим на $(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}$:$$ 2(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) \cdot ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}) = 2((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1})^2 - (\sqrt{c_1})^2) = 2(a_1 + 2\sqrt{a_1 b_1} + b_1 - c_1) = 2(a_1+b_1-c_1 + 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Теперь домножим на сопряженное к полученному выражению, то есть на $(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})$:$$ 2(a_1+b_1-c_1 + 2\sqrt{a_1 b_1}) \cdot (a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) = 2((a_1+b_1-c_1)^2 - (2\sqrt{a_1 b_1})^2) $$$$ = 2((a_1+b_1-c_1)^2 - 4a_1 b_1) = 2(a_1^2+b_1^2+c_1^2+2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1 - 4a_1b_1) $$$$ = 2(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Соответственно, числитель дроби станет равен произведению $1$ и этих множителей:$$ N_1 = ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Ответ для случая $a=a_1, b=b_1, c=c_1$:

Ответ:$$ \frac{(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{2(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$

Случай 2: $k^2 \neq 1$ (то есть $k \neq 1$)

В этом случае знаменатель $Z = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1})$. Чтобы сделать его рациональным, нужно избавиться от иррациональности в обоих множителях.Домножим числитель и знаменатель на $(k-1)$ и на множители для рационализации суммы трех корней, как в случае 1.Общий множитель для числителя и знаменателя будет:$$ M = (k-1) \cdot ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}) \cdot (a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Новый знаменатель будет:$$ Z' = Z \cdot M = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) \cdot (k-1)((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$$$ Z' = (k^2-1) \cdot (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Новый числитель будет равен $M$.Теперь вернемся к исходным переменным. Вспомним, что $k^2 = a/a_1$, значит $k=\sqrt{a/a_1}$.$$ k-1 = \sqrt{\frac{a}{a_1}} - 1 = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} $$$$ k^2-1 = \frac{a}{a_1} - 1 = \frac{a-a_1}{a_1} $$Подставим это в выражения для числителя и знаменателя.Знаменатель:$$ Z' = \frac{a-a_1}{a_1} (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Числитель:$$ N = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Итоговая дробь $\frac{N}{Z'}$:$$ \frac{\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{\frac{a-a_1}{a_1} (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$Умножим числитель и знаменатель на $a_1$, чтобы упростить дробь:$$ \frac{\sqrt{a_1}(\sqrt{a}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{(a-a_1)(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$Это выражение является решением, так как его знаменатель рационален. Заметим, что $a-a_1 \neq 0$, поскольку мы рассматриваем случай $k \neq 1$.Это общее решение, которое охватывает все случаи, кроме $a/a_1=1$.

Ответ:$$ \frac{\sqrt{a_1}(\sqrt{a}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{(a-a_1)(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$