Номер 7.42, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.42, страница 43.

7.42. Вычислите:

a) $ \left(\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt{7}}\right)^2; $

б) $ \frac{2}{\sqrt{3}+1} + \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \ldots + \frac{2}{\sqrt{23}+\sqrt{21}} + \frac{2}{\sqrt{25}+\sqrt{23}}. $

а) Вычислим значение выражения $ \left( \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{12} + \sqrt{7}} \right)^2 $.

Сначала упростим каждое слагаемое в скобках, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю.

Упростим первое слагаемое $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} $. Сопряженным к знаменателю $ (\sqrt{7} - \sqrt{3}) $ является выражение $ (\sqrt{7} + \sqrt{3}) $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3} $.

Упростим второе слагаемое $ \frac{5}{\sqrt{12} + \sqrt{7}} $. Сначала заметим, что $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $. Сопряженным к знаменателю $ (2\sqrt{3} + \sqrt{7}) $ является выражение $ (2\sqrt{3} - \sqrt{7}) $.

$ \frac{5}{2\sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{7})(2\sqrt{3} - \sqrt{7})} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{12 - 7} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{7} $.

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$ \left( (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - \sqrt{7}) \right)^2 $.

Сложим выражения в скобках, сгруппировав подобные члены:

$ (\sqrt{7} - \sqrt{7} + \sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 $.

Наконец, возведем результат в квадрат:

$ (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27 $.

Ответ: 27

б) Вычислим сумму $ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} + \frac{2}{\sqrt{25} + \sqrt{23}} $.

Рассмотрим общий вид слагаемого в этой сумме: $ \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Упростим его, избавившись от иррациональности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение $ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) $.

$ \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{2(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{2(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} $.

Во всех слагаемых нашей суммы разность подкоренных выражений в знаменателе равна 2. Например, для первого слагаемого $ 3 - 1 = 2 $, для второго $ 5 - 3 = 2 $, и так далее до последнего, где $ 25 - 23 = 2 $.Следовательно, каждое слагаемое вида $ \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $ упрощается следующим образом:

$ \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n+2})^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{n+2 - n} = \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{2} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} $.

Применим это правило к каждому слагаемому исходной суммы:

$ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} = \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1 $

$ \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} $

$ \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \sqrt{7} - \sqrt{5} $

$ \dots $

$ \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} = \sqrt{23} - \sqrt{21} $

$ \frac{2}{\sqrt{25} + \sqrt{23}} = \sqrt{25} - \sqrt{23} = 5 - \sqrt{23} $

Теперь просуммируем все полученные выражения. Запишем сумму полностью:

$ S = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{23} - \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{23}) $.

Эта сумма является телескопической, так как большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$ S = -1 + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \dots) + (-\sqrt{21} + \sqrt{23}) - \sqrt{23} + 5 $

Все промежуточные члены сокращаются, и остаются только первый член первого слагаемого и второй член последнего слагаемого (в нашей записи, после преобразования):

$ S = -1 + 5 = 4 $.

Ответ: 4