Номер 7.44, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.44, страница 43.

Найдите значение выражения:

7.44. a) $ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - \sqrt[4]{8})^2} $;

б) $ \frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} $;

в) $ \frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $;

г) $ \frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2} $.

а) $ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2} $

Сначала упростим знаменатель. Заметим, что $ \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} $.

Тогда знаменатель принимает вид:

$ (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2})^2 = (\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2}))^2 = (\sqrt[4]{2})^2 (1 - \sqrt{2})^2 $

Вычисляем каждый множитель:

$ (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2} $

$ (1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} $

Перемножаем результаты, чтобы получить значение знаменателя:

$ \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2 \cdot 2 = 3\sqrt{2} - 4 $

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4} $

Вынесем $-1$ из числителя:

$ \frac{-( -4 + 3\sqrt{2})}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} $

Для упрощения выражения введем замену $ x = \sqrt[6]{3} $. Тогда:

$ \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = (3^{1/6})^2 = x^2 $

$ \sqrt{3} = 3^{1/2} = (3^{1/6})^3 = x^3 $

$ \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3} = (3^{1/6})^4 = x^4 $

Подставим эти значения в исходное выражение. Сначала преобразуем знаменатель:

$ \sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 $

Теперь преобразуем числитель:

$ (\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = (x^4 + x^3)^2 = (x^3(x+1))^2 = (x^3)^2 (x+1)^2 = x^6 (x+1)^2 $

Теперь все выражение выглядит так:

$ \frac{x^6 (x+1)^2}{(x+1)^2} $

Сокращаем дробь на $ (x+1)^2 $ (так как $ x = \sqrt[6]{3} > 0 $, то $ x+1 \neq 0 $):

$ x^6 $

Вернемся к исходной переменной:

$ x^6 = (\sqrt[6]{3})^6 = 3 $

Ответ: $3$

в) $ \frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $

Упростим числитель. Вынесем общий множитель из-под корней в скобках:

$ \sqrt[4]{24} = \sqrt[4]{4 \cdot 6} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{6} $

Теперь числитель равен:

$ (\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1))^2 = (\sqrt[4]{6})^2 (\sqrt{2} + 1)^2 $

Вычислим каждый множитель:

$ (\sqrt[4]{6})^2 = \sqrt{6} $

$ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $

Перемножим результаты, чтобы получить значение числителя:

$ \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} $

Упростим $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $:

$ 3\sqrt{6} + 2(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} $

Теперь подставим полученный числитель в исходное выражение:

$ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $

Поскольку числитель и знаменатель равны ($3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}$), их отношение равно 1.

Ответ: $1$

г) $ \frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2} $

Рассмотрим числитель. Заметим, что $ \sqrt{5} = (\sqrt[4]{5})^2 $. Тогда числитель представляет собой формулу квадрата разности:

$ 1 - 2\sqrt[4]{5} + (\sqrt[4]{5})^2 = (1 - \sqrt[4]{5})^2 $

Теперь рассмотрим знаменатель. Упростим $ \sqrt[4]{45} $:

$ \sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{9 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5} $

Подставим это в выражение для знаменателя:

$ (\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5})^2 $

Вынесем общий множитель $ \sqrt{3} $ за скобки:

$ (\sqrt{3}(1 - \sqrt[4]{5}))^2 = (\sqrt{3})^2 (1 - \sqrt[4]{5})^2 = 3(1 - \sqrt[4]{5})^2 $

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{(1 - \sqrt[4]{5})^2}{3(1 - \sqrt[4]{5})^2} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (1 - \sqrt[4]{5})^2 $ (он не равен нулю):

$ \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $