Номер 7.48, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.48, страница 44.

7.48. Упростите выражение:

a) $\left( \frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{1 - \sqrt{ab}} + \frac{1 - \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}} \right) : \frac{\sqrt[4]{ab}}{1 + \sqrt[4]{a^3b^3}} - \frac{1 - \sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}};$

б) $a^3\sqrt{a\sqrt{3ab}} - 2a\sqrt{ab} \cdot \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})}.$

а)$ \left(\frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{1 - \sqrt{ab}} + \frac{1 - \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}}\right) : \frac{\sqrt[4]{ab}}{1 + \sqrt[4]{a^3b^3}} - \frac{1 - \sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} $

Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{ab}$. Тогда $\sqrt{ab} = x^2$ и $\sqrt[4]{a^3b^3} = (\sqrt[4]{ab})^3 = x^3$. Выражение принимает вид:

$ \left(\frac{x - x^2}{1 - x^2} + \frac{1 - x}{x}\right) : \frac{x}{1 + x^3} - \frac{1 - x - x^2}{x^2} $

1. Упростим выражение в скобках:

$ \frac{x - x^2}{1 - x^2} + \frac{1 - x}{x} = \frac{x(1 - x)}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1 - x}{x} $

При $x \neq 1$ (т.е. $ab \neq 1$), сокращаем дробь:

$ \frac{x}{1 + x} + \frac{1 - x}{x} = \frac{x \cdot x + (1 - x)(1 + x)}{x(1 + x)} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{x(1 + x)} = \frac{1}{x(1 + x)} $

2. Выполним деление:

$ \frac{1}{x(1 + x)} : \frac{x}{1 + x^3} = \frac{1}{x(1 + x)} \cdot \frac{1 + x^3}{x} $

Используем формулу суммы кубов $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$:

$ \frac{1}{x(1 + x)} \cdot \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{x} = \frac{1 - x + x^2}{x^2} $

3. Выполним вычитание:

$ \frac{1 - x + x^2}{x^2} - \frac{1 - x - x^2}{x^2} = \frac{(1 - x + x^2) - (1 - x - x^2)}{x^2} = \frac{1 - x + x^2 - 1 + x + x^2}{x^2} = \frac{2x^2}{x^2} = 2 $

Ответ: $2$

б)$ (a\sqrt[3]{a\sqrt{3ab}} - 2a\sqrt{ab}) \cdot \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})} $

1. Упростим множители в первых скобках, приведя их к корню шестой степени. ОДЗ: $a \geq 0, b \geq 0$.

$ a\sqrt[3]{a\sqrt{3ab}} = a\sqrt[3]{\sqrt{a^2 \cdot 3ab}} = a\sqrt[6]{3a^3b} $

$ 2a\sqrt{ab} = 2a\sqrt[6]{(ab)^3} = 2a\sqrt[6]{a^3b^3} $

2. Упростим второй множитель. Заметим, что подкоренное выражение $7 + 4\sqrt{3}$ является полным квадратом:

$ 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 $

Тогда второй множитель равен:

$ \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{a^3b(2 + \sqrt{3})^2} $

3. Перемножим выражения. Вынесем $a$ из первых скобок и воспользуемся свойством дистрибутивности, умножив второй множитель на каждый член в скобках:

$ a(\sqrt[6]{3a^3b} - 2\sqrt[6]{a^3b^3}) \cdot \sqrt[6]{a^3b(2 + \sqrt{3})^2} = a \left( \sqrt[6]{3a^3b \cdot a^3b(2+\sqrt{3})^2} - 2\sqrt[6]{a^3b^3 \cdot a^3b(2+\sqrt{3})^2} \right) $

4. Упростим выражения под корнями:

$ a \left( \sqrt[6]{3a^6b^2(2+\sqrt{3})^2} - 2\sqrt[6]{a^6b^4(2+\sqrt{3})^2} \right) $

5. Извлечем из-под корней множители:

$ a \left( a\sqrt[6]{3b^2(2+\sqrt{3})^2} - 2a\sqrt[6]{b^4(2+\sqrt{3})^2} \right) = a^2 \left( \sqrt[6]{(\sqrt{3}b(2+\sqrt{3}))^2} - 2\sqrt[6]{(b^2(2+\sqrt{3}))^2} \right) $

Сократим степень корня и показателей степени в 2 раза:

$ a^2 \left( \sqrt[3]{\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})} - 2\sqrt[3]{b^2(2+\sqrt{3})} \right) $

6. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})}$ за скобки:

$ a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} \left( \sqrt[3]{\sqrt{3}} - 2\sqrt[3]{b} \right) = a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} \left( \sqrt[6]{3} - 2\sqrt[3]{b} \right) $

Выражение в данной форме является упрощенным, так как дальнейшие преобразования не приводят к более простому виду. (Примечание: в исходном задачнике, вероятно, допущена опечатка, так как обычно в таких заданиях переменные, от которых не зависит ответ, сокращаются).

Ответ: $a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} (\sqrt[6]{3} - 2\sqrt[3]{b})$