Номер 7.52, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.52, страница 44.

7.52. Вычислите:

а) $\frac{x^2 - 2x\sqrt{3} + 3 - \sqrt[4]{4}}{x - \sqrt{3}}$ при $x = \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}$;

б) $\frac{1 + 2x}{1 + \sqrt{1 + 2x}} + \frac{1 - 2x}{1 - \sqrt{1 - 2x}}$ при $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

a)

Сначала упростим данное выражение. Числитель $x^2 - 2x\sqrt{3} + 3$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})^2$.

Также упростим член $\sqrt[4]{4}$: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Теперь выражение можно переписать в виде:

$\frac{(x - \sqrt{3})^2 - \sqrt{2}}{x - \sqrt{3}}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{(x - \sqrt{3})^2}{x - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{3}} = (x - \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{3}}$

Теперь найдем значение выражения $x - \sqrt{3}$, подставив данное значение $x = \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}$:

$x - \sqrt{3} = (\sqrt{3} - \sqrt[3]{2}) - \sqrt{3} = -\sqrt[3]{2}$

Подставим это значение обратно в упрощенное выражение:

$(-\sqrt[3]{2}) - \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt[3]{2}} = -\sqrt[3]{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}$

Упростим второе слагаемое:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2^{1/2}}{2^{1/3}} = 2^{1/2 - 1/3} = 2^{3/6 - 2/6} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2}$

Таким образом, окончательное значение выражения равно:

$-\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{2}$

Ответ: $\sqrt[6]{2} - \sqrt[3]{2}$.

б)

Обозначим данное выражение как $E$. Сначала упростим каждую дробь в выражении, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

Для первой дроби:

$\frac{1 + 2x}{1 + \sqrt{1 + 2x}} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{(1 + \sqrt{1 + 2x})(1 - \sqrt{1 + 2x})} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{1 - (1 + 2x)} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{-2x}$

Для второй дроби:

$\frac{1 - 2x}{1 - \sqrt{1 - 2x}} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{(1 - \sqrt{1 - 2x})(1 + \sqrt{1 - 2x})} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{1 - (1 - 2x)} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{2x}$

Теперь сложим полученные дроби:

$E = \frac{-(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x}) + (1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{2x}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $(-1 - 2x + (1+2x)\sqrt{1+2x}) + (1 - 2x + (1-2x)\sqrt{1-2x})$

Числитель = $-4x + (1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}$

Подставим числитель обратно в выражение для $E$:

$E = \frac{-4x + (1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}}{2x} = -2 + \frac{(1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}}{2x}$

Теперь подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Найдем значения выражений под корнем:

$2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1 + 2x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$1 - 2x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем значения квадратных корней из этих выражений. Заметим, что $(\sqrt{3} \pm 1)^2 = 3 \pm 2\sqrt{3} + 1 = 4 \pm 2\sqrt{3} = 2(2 \pm \sqrt{3})$.

Отсюда $\frac{(\sqrt{3} \pm 1)^2}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Значит, $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{\sqrt{2}}$.

$\sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

$\sqrt{1 - 2x} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Подставим все найденные значения в упрощенное выражение для $E$:

$E = -2 + \frac{(\frac{2 + \sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) + (\frac{2 - \sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}-1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Вычислим числитель дроби:

$\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}+2+3+\sqrt{3}}{4} = \frac{5+3\sqrt{3}}{4}$

$\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}-2-3+\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}-5}{4}$

Сумма этих двух выражений:

$\frac{5+3\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}-5}{4} = \frac{5+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение в дробь из выражения для $E$:

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$

Окончательно находим значение $E$:

$E = -2 + 3 = 1$

Ответ: 1.