Номер 7.47, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.47, страница 43.

7.47. Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$;

б) $\frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m - n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn}.$

а) Упростим данное выражение по действиям.
Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $.
1. Сначала упростим первую дробь. Для этого представим все корни в виде степеней с рациональными показателями, предполагая, что $a > 0$ и $b > 0$.
Числитель: $ \sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a} = (ab)^{1/2} \cdot a^{1/4} = a^{1/2}b^{1/2}a^{1/4} = a^{1/2+1/4}b^{1/2} = a^{3/4}b^{1/2} $.
Знаменатель: $ (a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}} = (a+b) \cdot \frac{(b^2)^{1/4}}{a^{1/4}} = (a+b) \cdot \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} $.
Разделим числитель на знаменатель:$$ \frac{a^{3/4}b^{1/2}}{(a+b) \cdot \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}}} = \frac{a^{3/4}b^{1/2} \cdot a^{1/4}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a^{3/4+1/4}b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a^1 b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a}{a+b} $$
2. Теперь выполним вычитание, подставив упрощенную дробь в исходное выражение:$$ \frac{a}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$
Приведем дроби к общему знаменателю $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:$$ \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - (a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} $$
3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$$ \frac{a^2 - ab - a^2 - b^2}{a^2-b^2} = \frac{-ab - b^2}{a^2-b^2} $$
4. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:$$ \frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{a-b} = \frac{b}{b-a} $$Ответ: $ \frac{b}{b-a} $.

б) Упростим выражение $ \frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m-n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn} $ по действиям.
1. Упростим числитель первой дроби, используя тождество $ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) $.
Пусть $ x = \sqrt[4]{m} $ и $ y = \sqrt[4]{n} $. Тогда $ x^2 = \sqrt{m} $ и $ y^2 = \sqrt{n} $.
Числитель равен: $ 2((\sqrt[4]{m})^2 + (\sqrt[4]{n})^2) = 2(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.
2. Подставим упрощенный числитель обратно в первую дробь и упростим ее, разложив знаменатель по формуле разности квадратов:$$ \frac{2(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{2(m-n)} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m-n} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})} = \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} $$
3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей:$$ \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} = \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot (\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}) = \frac{(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} $$
Применим формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a=\sqrt{m} $ и $ b=\sqrt{n} $. Результат деления:$$ \frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = m + \sqrt{mn} + n $$
4. Последнее действие — вычитание:$$ (m + \sqrt{mn} + n) - 3\sqrt{mn} = m - 2\sqrt{mn} + n $$
5. Свернем полученное выражение по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:$$ m - 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $$Ответ: $ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $.