Номер 7.41, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.41, страница 43.

7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[3]{4}}$;

б) $\frac{2}{\sqrt[12]{5} + \sqrt[12]{3}}$;

в) $\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt[12]{4} - \sqrt[12]{2}}$.

а)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[3]{4}}$, мы приведем корни к общему показателю и применим формулы сокращенного умножения в несколько шагов.

Let $a = \sqrt[4]{3}$ and $b = \sqrt[3]{4}$. The expression is $\frac{1}{a+b}$. The least common multiple of the root indices 4 and 3 is 12. We can rewrite the terms as $a = \sqrt[12]{3^3} = \sqrt[12]{27}$ and $b = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$. Let $x = \sqrt[12]{27}$ and $y = \sqrt[12]{256}$. The denominator is $x+y$.

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для суммы кубов. Мы хотим получить $x^3+y^3$. Для этого используем формулу $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$. Умножим на $x^2-xy+y^2$: $$ \frac{1}{x+y} = \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x^3+y^3} $$ Знаменатель становится: $$ x^3+y^3 = (\sqrt[12]{27})^3 + (\sqrt[12]{256})^3 = \sqrt[4]{27} + \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{27} + 4 $$ Числитель: $$ x^2-xy+y^2 = (\sqrt[12]{27})^2 - \sqrt[12]{27 \cdot 256} + (\sqrt[12]{256})^2 = \sqrt[6]{27} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[6]{256} = \sqrt{3} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[3]{16} $$

Шаг 2: Теперь у нас дробь $\frac{\sqrt{3} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[3]{16}}{4+\sqrt[4]{27}}$. Знаменатель имеет вид $u+v$, где $u=4, v=\sqrt[4]{27}$. Чтобы избавиться от корня 4-й степени, дважды применим формулу разности квадратов. Умножим на $4-\sqrt[4]{27}$. Знаменатель станет $4^2 - (\sqrt[4]{27})^2 = 16 - \sqrt{27}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $16-\sqrt{27} = 16-3\sqrt{3}$. Умножим на сопряженное $16+3\sqrt{3}$. Знаменатель станет $16^2 - (3\sqrt{3})^2 = 256 - 9 \cdot 3 = 256 - 27 = 229$.

В знаменателе получилось рациональное число 229. Числитель будет произведением всех множителей: $$ (\sqrt{3} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[12]{6912})(4-\sqrt[4]{27})(16+3\sqrt{3}) $$

Ответ: $ \frac{(\sqrt{3} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[12]{6912})(4-\sqrt[4]{27})(16+3\sqrt{3})}{229} $

б)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[12]{5} + \sqrt[12]{3}}$, мы применим последовательность умножений на сопряженные выражения.

Let $a = \sqrt[12]{5}$ and $b = \sqrt[12]{3}$. The expression is $\frac{2}{a+b}$.

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на $a-b = \sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3}$. Знаменатель: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2 = (\sqrt[12]{5})^2 - (\sqrt[12]{3})^2 = \sqrt[6]{5} - \sqrt[6]{3}$. Дробь: $\frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})}{\sqrt[6]{5}-\sqrt[6]{3}}$.

Шаг 2: Пусть $u=\sqrt[6]{5}, v=\sqrt[6]{3}$. Знаменатель $u-v$. Умножим на $u+v=\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3}$. Знаменатель: $(u-v)(u+v) = u^2-v^2 = (\sqrt[6]{5})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}$. Дробь: $\frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}$.

Шаг 3: Пусть $p=\sqrt[3]{5}, q=\sqrt[3]{3}$. Знаменатель $p-q$. Умножим на $p^2+pq+q^2$ (неполный квадрат суммы), чтобы получить разность кубов. Множитель: $(\sqrt[3]{5})^2 + \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}$. Знаменатель: $(p-q)(p^2+pq+q^2) = p^3-q^3 = (\sqrt[3]{5})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 5-3=2$.

Итоговая дробь: $$ \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})}{2} $$ Сократив на 2, получаем конечный результат.

Ответ: $ (\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}) $

в)

Задача аналогична пункту а). Дана дробь $\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}}$. Let $a = \sqrt[3]{5}$ and $b = \sqrt[4]{2}$. Наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4 равно 12.

Шаг 1: Чтобы избавиться от кубического корня в первом слагаемом, используем формулу суммы кубов $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$. Умножим числитель и знаменатель на $a^2-ab+b^2$. Знаменатель: $a^3+b^3 = (\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[4]{2})^3 = 5+\sqrt[4]{8}$. Множитель (новый числитель): $a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[4]{2} + (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[12]{5^4 \cdot 2^3} + \sqrt{2} = \sqrt[3]{25} + \sqrt{2} - \sqrt[12]{5000}$.

Шаг 2: Теперь знаменатель равен $5+\sqrt[4]{8}$. Чтобы избавиться от корня 4-й степени, дважды применим формулу разности квадратов. Умножим на $5-\sqrt[4]{8}$. Знаменатель станет $5^2 - (\sqrt[4]{8})^2 = 25 - \sqrt{8} = 25-2\sqrt{2}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $25-2\sqrt{2}$. Умножим на сопряженное $25+2\sqrt{2}$. Знаменатель станет $25^2 - (2\sqrt{2})^2 = 625 - 4 \cdot 2 = 625 - 8 = 617$.

Числитель равен произведению всех множителей.

Ответ: $ \frac{(\sqrt[3]{25} + \sqrt{2} - \sqrt[12]{5000})(5-\sqrt[4]{8})(25+2\sqrt{2})}{617} $

г)

Дана дробь $\frac{1}{\sqrt[12]{4} - \sqrt[12]{2}}$. Let $a = \sqrt[12]{4}$ and $b = \sqrt[12]{2}$. Знаменатель равен $a-b$. Мы будем последовательно избавляться от корней, используя формулы сокращенного умножения.

Шаг 1: Умножим на $a+b = \sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2}$. Знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2 = \sqrt[6]{4}-\sqrt[6]{2} = \sqrt[3]{2}-\sqrt[6]{2}$.

Шаг 2: Теперь знаменатель $\sqrt[3]{2}-\sqrt[6]{2}$. Заметим, что $\sqrt[3]{2}=(\sqrt[6]{2})^2$. Пусть $x = \sqrt[6]{2}$, тогда знаменатель равен $x^2-x$. Это не стандартная сумма/разность. Вернемся к переменным $a$ и $b$. Мы получили знаменатель $a^2-b^2$. Умножим на $a^2+b^2 = \sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2}$. Знаменатель: $(a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4 = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $a^4-b^4 = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$. Пусть $u=\sqrt[3]{4}, v=\sqrt[3]{2}$. Умножим на неполный квадрат суммы $u^2+uv+v^2$, чтобы получить разность кубов. Множитель: $(\sqrt[3]{4})^2+\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}$. Знаменатель: $u^3-v^3 = (\sqrt[3]{4})^3-(\sqrt[3]{2})^3 = 4-2=2$.

Финальный знаменатель равен 2. Числитель - произведение всех множителей. $ (\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(a^2+b^2)(u^2+uv+v^2) = (\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{16}+2+\sqrt[3]{4}) $. Упростим, где возможно: $\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[6]{2})(2+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}) $