Номер 7.34, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.34, страница 42.

7.34. a) $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$; $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

б) $\sqrt[5]{4}$; $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$;

в) $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}$; $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}$;

г) $\sqrt[16]{64}$; $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$.

а)

Для того чтобы сравнить данные числа, приведем каждое из них к виду корня одной и той же степени.

1. Упростим первое выражение $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$:

Внесем множитель 3 под знак кубического корня: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$.
$\sqrt{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt{\sqrt[3]{27 \cdot 4}} = \sqrt{\sqrt[3]{108}}$.
Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем: $\sqrt[2 \cdot 3]{108} = \sqrt[6]{108}$.

2. Упростим второе выражение $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$:

Внесем множитель 5 под знак квадратного корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
$\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt{75}}$.
Применяя то же свойство корней, получаем: $\sqrt[3 \cdot 2]{75} = \sqrt[6]{75}$.

3. Третье выражение $\sqrt[6]{100}$ уже имеет показатель корня 6.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[6]{108}$, $\sqrt[6]{75}$ и $\sqrt[6]{100}$. Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $75 < 100 < 108$.

Следовательно, $\sqrt[6]{75} < \sqrt[6]{100} < \sqrt[6]{108}$.

Это означает, что в порядке возрастания исходные числа располагаются так: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} < \sqrt[6]{100} < \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} < \sqrt[6]{100} < \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

---

б)

Приведем все выражения к корню с одним и тем же показателем.

1. Первое выражение $\sqrt[5]{4}$ уже в простой форме.

2. Упростим второе выражение $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$:

$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^6}} = \sqrt[30]{3^6}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 6: $\sqrt[30/6]{3^{6/6}} = \sqrt[5]{3}$.

3. Упростим третье выражение $\sqrt[10]{25}$:

$\sqrt[10]{25} = \sqrt[10]{5^2}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 2: $\sqrt[10/2]{5^{2/2}} = \sqrt[5]{5}$.

Теперь мы имеем три выражения с одинаковым показателем корня: $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[5]{3}$ и $\sqrt[5]{5}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $3 < 4 < 5$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[5]{5}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[10]{25}$.

Ответ: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[10]{25}$.

---

в)

Для сравнения приведем все выражения к общему показателю корня.

1. Упростим первое выражение $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}$:

$\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{27 \cdot 5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{135}} = \sqrt[15]{135}$.

2. Второе выражение $\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим третье выражение $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}$:

$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^5 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{32 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[15]{96}$.

Общий показатель корня для $\sqrt[15]{135}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[15]{96}$ равен 15. Приведем $\sqrt[3]{3}$ к этому показателю:

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$.

Теперь сравним числа: $\sqrt[15]{135}$, $\sqrt[15]{243}$ и $\sqrt[15]{96}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $96 < 135 < 243$.

Следовательно, $\sqrt[15]{96} < \sqrt[15]{135} < \sqrt[15]{243}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} < \sqrt[3]{3}$.

---

г)

Упростим каждое выражение, представив его в виде одного корня.

1. Упростим $\sqrt[16]{64}$:

$\sqrt[16]{64} = \sqrt[16]{2^6} = 2^{6/16} = 2^{3/8} = \sqrt[8]{2^3} = \sqrt[8]{8}$.

2. Упростим $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$:

$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48]{7^1 \cdot 7^{1/2}} = \sqrt[48]{7^{3/2}} = (7^{3/2})^{1/48} = 7^{(3/2) \cdot (1/48)} = 7^{3/96} = 7^{1/32} = \sqrt[32]{7}$.

3. Упростим $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$:

$1,25 = \frac{5}{4}$.
$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4]{2\sqrt{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \sqrt[4]{\sqrt{5}} = \sqrt[8]{5}$.

Теперь нужно сравнить: $\sqrt[8]{8}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[8]{5}$.

Наименьший общий показатель корня - 32. Приведем все корни к этому показателю.

$\sqrt[8]{8} = \sqrt[8 \cdot 4]{8^4} = \sqrt[32]{(2^3)^4} = \sqrt[32]{2^{12}} = \sqrt[32]{4096}$.

$\sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[32]{625}$.

$\sqrt[32]{7}$ уже имеет нужный показатель.

Сравниваем подкоренные выражения: $7 < 625 < 4096$.

Следовательно, $\sqrt[32]{7} < \sqrt[32]{625} < \sqrt[32]{4096}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}} < \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} < \sqrt[16]{64}$.

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}} < \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} < \sqrt[16]{64}$.