Номер 7.32, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.32, страница 42.

7.32. Сравните числа:

а) $-\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[4]{10}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}};$

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5};$

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}};$

г) $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.$

а) Чтобы сравнить числа $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}}$ и $\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.
Преобразуем каждое выражение, чтобы привести корни к одному показателю.
Первое число: $\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{16 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{160}} = \sqrt[5 \cdot 4]{160} = \sqrt[20]{160}$.
Второе число: $\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}} = \sqrt[4 \cdot 5]{99} = \sqrt[20]{99}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $160 > 99$.
Следовательно, $\sqrt[20]{160} > \sqrt[20]{99}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[20]{160} < -\sqrt[20]{99}$.
Таким образом, $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} < -\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.
Ответ: $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} < -\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$. Оба числа положительные. Приведем корни к общему показателю.
Наименьший общий показатель для корней 2-й и 3-й степени - это 6.
Первое число: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.
Второе число: $\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $24 < 25$.
Следовательно, $\sqrt[6]{24} < \sqrt[6]{25}$, а значит $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

в) Сравним числа $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$. Оба числа положительные.
Преобразуем второе число, чтобы избавиться от вложенного корня:
$\sqrt[8]{6\sqrt{2}} = \sqrt[8]{\sqrt{6^2 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{72}} = \sqrt[8 \cdot 2]{72} = \sqrt[16]{72}$.
Теперь приведем первое число к тому же показателю корня (16):
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $81 > 72$.
Следовательно, $\sqrt[16]{81} > \sqrt[16]{72}$, а значит $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

г) Чтобы сравнить числа $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$, сравним сначала их модули: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.
Приведем оба выражения к корню 6-й степени.
Первое число: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{48}} = \sqrt[6]{48}$.
Второе число: $\sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{50}} = \sqrt[6]{50}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $48 < 50$.
Следовательно, $\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{50}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{48} > -\sqrt[6]{50}$.
Таким образом, $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.
Ответ: $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.