Номер 7.27, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.27, страница 41.

7.27. a) $\sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6;$

б) $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6;$

в) $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12;$

г) $2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1.$

а)

Данное выражение $\sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6$ можно разложить на множители, приведя его к виду квадратного трехчлена. Заметим, что $\sqrt[4]{m} = (m^{1/4}) = (m^{1/8})^2 = (\sqrt[8]{m})^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{m}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$t^2 - t - 6$

Чтобы разложить этот квадратный трехчлен на множители, найдем его корни, решив уравнение $t^2 - t - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -6$. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $(t - t_1)(t - t_2)$. Подставив найденные корни, получим:

$(t - 3)(t - (-2)) = (t - 3)(t + 2)$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $\sqrt[8]{m}$:

$(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

Ответ: $(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6$. Заметим, что $\sqrt{m} = (m^{1/2}) = (m^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{m})^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{m}$. Тогда выражение преобразуется в следующий квадратный трехчлен:

$t^2 + 5t + 6$

Найдем корни уравнения $t^2 + 5t + 6 = 0$ для разложения на множители.

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -5$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Отсюда находим корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.

Разложим трехчлен на множители:

$(t - (-2))(t - (-3)) = (t + 2)(t + 3)$

Выполним обратную замену, подставив $t = \sqrt[4]{m}$:

$(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

Ответ: $(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12$. Так как $\sqrt[5]{a} = (a^{1/5}) = (a^{1/10})^2 = (\sqrt[10]{a})^2$, мы можем использовать замену переменной.

Пусть $t = \sqrt[10]{a}$. Исходное выражение принимает вид:

$t^2 + 7t + 12$

Решим квадратное уравнение $t^2 + 7t + 12 = 0$, чтобы найти его корни.

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -7$ и $t_1 \cdot t_2 = 12$. Корнями являются $t_1 = -3$ и $t_2 = -4$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$(t - (-3))(t - (-4)) = (t + 3)(t + 4)$

Вернемся к исходной переменной, выполнив обратную замену $t = \sqrt[10]{a}$:

$(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

Ответ: $(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

г)

Рассмотрим выражение $2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1$. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (x^{1/3}) = (x^{1/6})^2 = (\sqrt[6]{x})^2$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда выражение можно записать в виде:

$2t^2 - t - 1$

Для разложения на множители решим квадратное уравнение $2t^2 - t - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае:

$2(t - 1)(t - (-\frac{1}{2})) = 2(t-1)(t+\frac{1}{2}) = (t-1)(2t+1)$

Выполним обратную замену $t = \sqrt[6]{x}$:

$(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$

Ответ: $(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$