Номер 7.24, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.24, страница 41.

Выполните действия:

7.24. a) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2$;

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2$;

в) $(a^2 - \sqrt{a})^2$;

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2$.

а) Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = 2\sqrt[3]{n}$.
Подставим эти значения в формулу: $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot (2\sqrt[3]{n}) + (2\sqrt[3]{n})^2$
Теперь упростим каждый член выражения:
$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$
$2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$
$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$
Собираем все вместе: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$

б) Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
Упростим: $(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Произведение $2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3}$ упростить нельзя, так как корни имеют разные степени.
В итоге получаем: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$
Ответ: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$

в) Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом случае первый член равен $a^2$, а второй член равен $\sqrt{a}$.
$(a^2 - \sqrt{a})^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$
Выполним возведение в степень и умножение: $(a^2)^2 = a^4$
$(\sqrt{a})^2 = a$
Собираем выражение: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$
Ответ: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$

г) Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = \sqrt[3]{4}$ и $b = 2\sqrt{2}$.
$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{4})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2$
Упростим каждый член по отдельности:
$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$
$2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt[3]{4}\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/2} = 4 \cdot 2^{2/3 + 1/2} = 4 \cdot 2^{7/6} = 4 \cdot 2^{1+1/6} = 4 \cdot 2 \cdot 2^{1/6} = 8\sqrt[6]{2}$
$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$
Ответ: $2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$