Номер 7.28, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.28, страница 41.

Сократите дроби, считая, что переменные принимают не-отрицательные значения:

7.28. a) $\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}} $;

б) $\frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}} $;

в) $\frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}} $;

г) $\frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе. Для этого разложим подкоренные выражения на множители.
Числитель: $ \sqrt{10b} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2b} - \sqrt{5 \cdot 3} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ \sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3}) $.
Знаменатель: $ \sqrt{15b} - \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 3b} - \sqrt{5 \cdot 1} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ \sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1) $.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt{5} $:
$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе.
Числитель: $ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x \cdot x} - \sqrt[3]{x \cdot y} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ за скобки: $ \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x \cdot 1} - \sqrt[3]{x \cdot y} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ за скобки: $ \sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[3]{x} $ (при условии $ x \neq 0 $):
$ \frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}} $.

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе, разложив подкоренные выражения.
Числитель: $ \sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k} = \sqrt[4]{7 \cdot 2} + \sqrt[4]{7 \cdot 3k} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{7} $ за скобки: $ \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{7 \cdot k} - \sqrt[4]{7 \cdot 2} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{7} $ за скобки: $ \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[4]{7} $:
$ \frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}} $.

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}} $, найдем общий множитель в числителе и знаменателе.
Числитель: $ \sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a \cdot a} - \sqrt[4]{a \cdot d} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ за скобки: $ \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{a \cdot 3} - \sqrt[4]{a \cdot ad} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ за скобки: $ \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}) $.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $ \sqrt[4]{a} $ (при условии $ a \neq 0 $):
$ \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})} = \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}} $.