Номер 7.25, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.25, страница 41.

7.25. a) $(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b});$

Б) $(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l});$

В) $(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n});$

Г) $(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y}).$

а) Чтобы выполнить деление $(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b})$, представим выражение $(a-b)$ как разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь выполним деление, записав его в виде дроби:
$\frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.
Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

б) Чтобы выполнить деление $(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})$, представим выражение $(k+l)$ как сумму кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \sqrt[3]{k}$ и $y = \sqrt[3]{l}$.
$k + l = (\sqrt[3]{k})^3 + (\sqrt[3]{l})^3 = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})((\sqrt[3]{k})^2 - \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{l} + (\sqrt[3]{l})^2) = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{k + l}{\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}} = \frac{(\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})}{\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.

в) Чтобы выполнить деление $(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})$, представим выражение $(m-n)$ как разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = \sqrt[3]{n}$.
$m - n = (\sqrt[3]{m})^3 - (\sqrt[3]{n})^3 = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})((\sqrt[3]{m})^2 + \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2) = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{m - n}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}} = \frac{(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.

г) Чтобы выполнить деление $(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$, представим выражение $(x - 4y)$ как разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 2\sqrt{y}$.
$x - 4y = (\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$.
Теперь выполним деление:
$\frac{x - 4y}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}$.
Сократив дробь, получим:
$\sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.
Ответ: $\sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.