Номер 7.20, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.20, страница 40.

Упростите выражение:

7.20. а) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$;

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$;

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$;

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$.

а) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$
Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множитель из-под знака корня в первом члене. Разложим число 24 на множители таким образом, чтобы один из них был кубом целого числа:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь можно вынести множитель из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = (2-1)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$
Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 384 на множители. Попытаемся выделить множитель, являющийся седьмой степенью целого числа. Заметим, что $2^7 = 128$. Проверим, делится ли 384 на 128:
$384 \div 128 = 3$.
Следовательно, $384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение и сложим подобные члены:
$2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} = (2+2)\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3}$.
Ответ: $4\sqrt[7]{3}$

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$
Упростим оба слагаемых, вынося множители из-под знаков корней.
Для первого слагаемого: разложим 64 на множители. $64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2$.
$2\sqrt[5]{64} = 2\sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = 2 \cdot (\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = 2 \cdot (2\sqrt[5]{2}) = 4\sqrt[5]{2}$.
Для второго слагаемого: разложим 486 на множители. $486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2$.
$\sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$4\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} = (4+3)\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $7\sqrt[5]{2}$

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$
Упростим первый член, вынеся множитель из-под знака корня. Разложим 512 на множители так, чтобы выделить множитель, являющийся четвертой степенью целого числа. Заметим, что $4^4 = 256$. Проверим, делится ли 512 на 256:
$512 \div 256 = 2$.
Следовательно, $512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение и выполним вычитание:
$4\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} = (4-1)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$