Номер 7.19, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.19, страница 40.

7.19. a) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} \cdot \sqrt[27]{a^{14}}$;

В) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : \sqrt[16]{x^{11}}$;

б) $\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$;

Г) $\sqrt{2m^3\sqrt{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} : \sqrt[12]{nm}.$

а)

Сначала упростим выражение с вложенными корнями. Для этого можно последовательно вносить множители под внутренние знаки корня, либо использовать степени с дробными показателями. Воспользуемся вторым способом, так как он более универсален.

$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} = (a \cdot (a \cdot a^{1/3})^{1/3})^{1/3}$

Сначала упростим внутренние скобки:

$a \cdot a^{1/3} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{4/3}$

Подставим обратно в выражение:

$(a \cdot (a^{4/3})^{1/3})^{1/3} = (a \cdot a^{4/9})^{1/3}$

Снова выполним умножение в скобках:

$a \cdot a^{4/9} = a^{1+\frac{4}{9}} = a^{13/9}$

И, наконец, возведем в степень:

$(a^{13/9})^{1/3} = a^{\frac{13}{9} \cdot \frac{1}{3}} = a^{13/27} = \sqrt[27]{a^{13}}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель из условия:

$\sqrt[27]{a^{13}} \cdot \sqrt[27]{a^{14}} = \sqrt[27]{a^{13} \cdot a^{14}} = \sqrt[27]{a^{13+14}} = \sqrt[27]{a^{27}} = a$

Ответ: $a$

б)

Как и в предыдущем примере, начнем с упрощения сложного выражения с вложенными корнями, используя степени с дробными показателями.

$\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}} = \left( \frac{x}{y} \cdot \left( \frac{y}{x} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} \right)^{1/2} \right)^{1/2}$

Упростим внутренние скобки, учитывая, что $\frac{y}{x} = (\frac{x}{y})^{-1}$:

$\frac{y}{x} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-1+\frac{1}{3}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-2/3}$

Подставим результат в основное выражение:

$\left( \frac{x}{y} \cdot \left( \left( \frac{x}{y} \right)^{-2/3} \right)^{1/2} \right)^{1/2} = \left( \frac{x}{y} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3} \right)^{1/2}$

Снова выполним умножение в скобках:

$\frac{x}{y} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{2/3}$

Завершим упрощение:

$\left( \left( \frac{x}{y} \right)^{2/3} \right)^{1/2} = \left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель из условия:

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = \sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1$

в)

Упростим делимое, которое представляет собой вложенные квадратные корни. Будем последовательно вносить множители под знаки внутренних корней.

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\sqrt{x^2 \cdot x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt[4]{x^3}}}$

Продолжаем вносить множители:

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt[4]{x^3}}} = \sqrt{x\sqrt{\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}}} = \sqrt{x\sqrt[8]{x^7}}$

И последний шаг:

$\sqrt{x\sqrt[8]{x^7}} = \sqrt{\sqrt[8]{x^8 \cdot x^7}} = \sqrt[16]{x^{15}}$

Теперь выполним деление:

$\sqrt[16]{x^{15}} : \sqrt[16]{x^{11}} = \frac{\sqrt[16]{x^{15}}}{\sqrt[16]{x^{11}}} = \sqrt[16]{\frac{x^{15}}{x^{11}}} = \sqrt[16]{x^{15-11}} = \sqrt[16]{x^4}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[16]{x^4} = x^{4/16} = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}$

Ответ: $\sqrt[4]{x}$

г)

Упростим делимое, последовательно внося множители под знаки внутренних корней.

$\sqrt{2m\sqrt[3]{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{(2m)^3 \cdot \frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{8m^3 \cdot \frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}}$

Упростим выражение под кубическим корнем:

$\sqrt{\sqrt[3]{2m\sqrt{\frac{n}{m}}}}$

Перемножим показатели корней и внесем множитель $2m$ под внутренний корень:

$\sqrt[6]{2m\sqrt{\frac{n}{m}}} = \sqrt[6]{\sqrt{(2m)^2 \cdot \frac{n}{m}}} = \sqrt[12]{4m^2 \cdot \frac{n}{m}} = \sqrt[12]{4mn}$

Теперь выполним деление, указанное в условии:

$\sqrt[12]{4mn} : \sqrt[12]{nm} = \frac{\sqrt[12]{4mn}}{\sqrt[12]{nm}} = \sqrt[12]{\frac{4mn}{nm}} = \sqrt[12]{4}$

Упростим полученный результат:

$\sqrt[12]{4} = \sqrt[12]{2^2} = 2^{2/12} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2}$

Ответ: $\sqrt[6]{2}$