Номер 7.16, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.16, страница 39.

7.16. Преобразуйте заданное выражение к виду $ \sqrt[n]{A} $:

а) $ \sqrt[4]{2^3\sqrt{2m^4n^8}} $;

б) $ \sqrt{y^5\sqrt[5]{9x^4y^2}} $;

в) $ \sqrt[5]{4^3\sqrt{k^2l^5}} $;

г) $ \sqrt[7]{q^5\sqrt[5]{2p^3q}} $.

а)

Преобразуем выражение $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2m^4n^8}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Сначала внесем множитель 2, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Для этого возведем 2 в степень показателя внутреннего корня, то есть в куб:

$2\sqrt[3]{2m^4n^8} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{8 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{16m^4n^8}$.

Теперь исходное выражение принимает вид вложенных корней:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{16m^4n^8}}$

Далее воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$. Перемножим показатели корней 4 и 3:

$\sqrt[4 \cdot 3]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{16m^4n^8}$.

Полученное выражение можно упростить. Представим $16$ как $2^4$. Показатель корня (12) и показатели степеней подкоренного выражения (4, 4, 8) имеют общий делитель 4. Разделим показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[12]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{2^4m^4n^8} = \sqrt[12/4]{2^{4/4}m^{4/4}n^{8/4}} = \sqrt[3]{2^1m^1n^2} = \sqrt[3]{2mn^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2mn^2}$

б)

Преобразуем выражение $\sqrt{y\sqrt[5]{9x^4y^2}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внешний корень — квадратный, его показатель равен 2. Внесем множитель $y$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $y$ в степень 5:

$y\sqrt[5]{9x^4y^2} = \sqrt[5]{y^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{9x^4y^{5+2}} = \sqrt[5]{9x^4y^7}$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt[2]{\sqrt[5]{9x^4y^7}}$

По свойству $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$ перемножим показатели корней 2 и 5:

$\sqrt[2 \cdot 5]{9x^4y^7} = \sqrt[10]{9x^4y^7}$.

Представим $9$ как $3^2$: $\sqrt[10]{3^2x^4y^7}$. Наибольший общий делитель для показателя корня 10 и показателей степеней 2, 4, 7 равен 1. Следовательно, выражение дальше не упрощается.

Ответ: $\sqrt[10]{9x^4y^7}$

в)

Преобразуем выражение $\sqrt[5]{4\sqrt[3]{k^2l^5}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внесем множитель 4 под знак внутреннего кубического корня, возведя 4 в степень 3:

$4\sqrt[3]{k^2l^5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[3]{64k^2l^5}$.

Исходное выражение теперь выглядит так:

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{64k^2l^5}}$

Используя свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$, перемножим показатели корней 5 и 3:

$\sqrt[5 \cdot 3]{64k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5}$.

Представим $64$ как $2^6$: $\sqrt[15]{2^6k^2l^5}$. Наибольший общий делитель для показателя корня 15 и показателей степеней 6, 2, 5 равен 1. Таким образом, выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[15]{64k^2l^5}$

г)

Преобразуем выражение $\sqrt[7]{q\sqrt[5]{2p^3q}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внесем множитель $q$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $q$ в степень 5:

$q\sqrt[5]{2p^3q} = \sqrt[5]{q^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[5]{2p^3q^{5+1}} = \sqrt[5]{2p^3q^6}$.

Теперь исходное выражение выглядит следующим образом:

$\sqrt[7]{\sqrt[5]{2p^3q^6}}$

Применим свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$ и перемножим показатели корней 7 и 5:

$\sqrt[7 \cdot 5]{2p^3q^6} = \sqrt[35]{2p^3q^6}$.

Наибольший общий делитель для показателя корня 35 и показателей степеней подкоренного выражения (1 у множителя 2, 3 у $p$, 6 у $q$) равен 1. Следовательно, выражение дальше не упрощается.

Ответ: $\sqrt[35]{2p^3q^6}$