Номер 7.9, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.9, страница 39.

7.9. a) $\sqrt{50a^3}$;

б) $\sqrt[6]{256c^8}$;

в) $\sqrt{25x^2}$;

г) $\sqrt[4]{162a^8}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{50a^3}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
Подкоренное выражение определено при $50a^3 \ge 0$, что означает $a^3 \ge 0$, следовательно, $a \ge 0$.
Разложим число 50 и переменную $a^3$ на множители: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$
$a^3 = a^2 \cdot a$
Теперь перепишем исходное выражение: $\sqrt{50a^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{(25a^2) \cdot 2a}$
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получаем: $\sqrt{25a^2} \cdot \sqrt{2a} = \sqrt{(5a)^2} \cdot \sqrt{2a}$
Так как мы установили, что $a \ge 0$, то $5a \ge 0$, и поэтому $\sqrt{(5a)^2} = 5a$.
Таким образом, упрощенное выражение равно $5a\sqrt{2a}$.
Ответ: $5a\sqrt{2a}$

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{256c^8}$.
Подкоренное выражение $256c^8$ всегда неотрицательно, так как $c^8 = (c^4)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $c$. Следовательно, выражение определено для всех $c \in \mathbb{R}$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя степени с показателем 6: $256 = 2^8 = 2^6 \cdot 2^2$
$c^8 = c^6 \cdot c^2$
Подставим это в корень: $\sqrt[6]{256c^8} = \sqrt[6]{(2^6 \cdot c^6) \cdot (2^2 \cdot c^2)} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{4c^2}$
Упростим множители: $\sqrt[6]{2^6} = 2$
$\sqrt[6]{c^6} = |c|$, так как показатель корня (6) — четное число.
Оставшийся радикал $\sqrt[6]{4c^2}$ также можно упростить, заметив, что $4c^2 = (2c)^2$. Используя свойство $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{|a|}$, получим: $\sqrt[6]{(2c)^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{(2c)^2} = \sqrt[3]{|2c|} = \sqrt[3]{2|c|}$
Собираем все вместе: $2 \cdot |c| \cdot \sqrt[3]{2|c|} = 2|c|\sqrt[3]{2|c|}$
Ответ: $2|c|\sqrt[3]{2|c|}$

в) Упростим выражение $\sqrt{25x^2}$.
Подкоренное выражение $25x^2$ всегда неотрицательно, так как $x^2 \ge 0$. Значит, выражение определено для любого действительного $x$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $25x^2 = 5^2 \cdot x^2 = (5x)^2$
Теперь применим основное свойство квадратного корня $\sqrt{A^2} = |A|$: $\sqrt{(5x)^2} = |5x|$
Используя свойство модуля $|ab| = |a| \cdot |b|$, получаем: $|5x| = |5| \cdot |x| = 5|x|$
Ответ: $5|x|$

г) Упростим выражение $\sqrt[4]{162a^8}$.
Подкоренное выражение $162a^8$ всегда неотрицательно, поскольку $a^8 \ge 0$. Выражение определено для всех действительных $a$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя четвертые степени: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$
$a^8 = (a^2)^4$
Перепишем исходное выражение: $\sqrt[4]{162a^8} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot (a^2)^4) \cdot 2}$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем: $\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{2}$
Упростим множители: $\sqrt[4]{3^4} = 3$
$\sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
Собираем все части вместе: $3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[4]{2} = 3a^2\sqrt[4]{2}$
Ответ: $3a^2\sqrt[4]{2}$