Номер 7.7, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.7, страница 39.

7.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

a) $\frac{2}{3a}\sqrt{72a^3b}$;

б) $\frac{x^2}{b}\sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}}$;

в) $\frac{3}{x}\sqrt{\frac{a^5x^2}{18}}$;

г) $3mn \cdot \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты.
Исходное выражение: $ \frac{2}{3a} \sqrt{72a^3b} $.
Разложим число $72$ на множители: $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$.
Разложим переменную $a^3$: $a^3 = a^2 \cdot a$.
Тогда подкоренное выражение можно записать как $72a^3b = 36 \cdot a^2 \cdot 2ab$.
Теперь вынесем множители из-под знака корня. Так как по условию переменные неотрицательны ($a \ge 0$), то $\sqrt{a^2} = a$.
$ \sqrt{72a^3b} = \sqrt{36 \cdot a^2 \cdot 2ab} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2ab} = 6a\sqrt{2ab} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{2}{3a} \cdot (6a\sqrt{2ab}) $.
Сократим дробь:
$ \frac{2 \cdot 6a}{3a} \sqrt{2ab} = \frac{12a}{3a} \sqrt{2ab} = 4\sqrt{2ab} $.
Ответ: $4\sqrt{2ab}$.

б) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные кубы.
Исходное выражение: $ \frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}} $.
Воспользуемся свойством корня от дроби $ \sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} $:
$ \frac{x^2}{b} \frac{\sqrt[3]{72a^4b^3}}{\sqrt[3]{343x^3}} $.
Рассмотрим числитель подкоренного выражения: $72a^4b^3$. Разложим его на множители:
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 9$.
$a^4 = a^3 \cdot a$.
$b^3$ уже является полным кубом.
$ \sqrt[3]{72a^4b^3} = \sqrt[3]{8 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot 9a} = \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot b^3} \cdot \sqrt[3]{9a} = 2ab\sqrt[3]{9a} $.
Рассмотрим знаменатель подкоренного выражения: $343x^3$. Разложим его на множители:
$343 = 7^3$.
$x^3$ уже является полным кубом.
$ \sqrt[3]{343x^3} = \sqrt[3]{7^3 \cdot x^3} = 7x $.
Подставим упрощенные части обратно:
$ \frac{x^2}{b} \cdot \frac{2ab\sqrt[3]{9a}}{7x} $.
Выполним умножение и сокращение:
$ \frac{x^2 \cdot 2ab \cdot \sqrt[3]{9a}}{b \cdot 7x} = \frac{2a x^2 b \sqrt[3]{9a}}{7xb} = \frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a} $.
Ответ: $\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$.

в) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты.
Исходное выражение: $ \frac{3}{x} \sqrt{\frac{a^5x^2}{18}} $.
Упростим выражение под корнем:
$ \sqrt{\frac{a^5x^2}{18}} = \frac{\sqrt{a^5x^2}}{\sqrt{18}} $.
Упростим числитель: $ \sqrt{a^5x^2} = \sqrt{a^4 \cdot a \cdot x^2} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot x^2 \cdot a} = a^2x\sqrt{a} $ (так как $a \ge 0, x \ge 0$).
Упростим знаменатель: $ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $.
Получаем: $ \frac{a^2x\sqrt{a}}{3\sqrt{2}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{3}{x} \cdot \frac{a^2x\sqrt{a}}{3\sqrt{2}} = \frac{3a^2x\sqrt{a}}{3x\sqrt{2}} = \frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt{2}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$ \frac{a^2\sqrt{a} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a^2\sqrt{2a}}{2} $.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2a}}{2}$.

г) Чтобы вынести множитель из-под знака корня четвертой степени, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя множители в четвертой степени.
Исходное выражение: $ 3mn \cdot \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}} $.
Разложим числа и переменные в числителе и знаменателе подкоренного выражения:
$80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$m^5 = m^4 \cdot m$.
$n^9 = n^8 \cdot n = (n^2)^4 \cdot n$.
Подставим разложения в выражение под корнем:
$ \sqrt[4]{\frac{2^4 \cdot 5x^3}{3^4 \cdot 3 \cdot m^4 \cdot m \cdot (n^2)^4 \cdot n}} $.
Вынесем из-под корня множители в четвертой степени:
$ \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4 \cdot m^4 \cdot (n^2)^4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{2}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ 3mn \cdot \frac{2}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{6mn}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} $.
Чтобы избавиться от дроби под знаком корня, домножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на $ (3mn)^3 = 27m^3n^3 $, чтобы в знаменателе получился полный четвертый степень:
$ \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{5x^3 \cdot 27m^3n^3}{3mn \cdot 27m^3n^3}} = \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{135m^3n^3x^3}{81m^4n^4}} $.
Теперь можно вынести знаменатель из-под корня:
$ \frac{2}{n} \frac{\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{\sqrt[4]{81m^4n^4}} = \frac{2}{n} \frac{\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn} $.
Упростим полученное выражение:
$ \frac{2\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn^2} $.
Ответ: $\frac{2\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn^2}$.