Номер 7.2, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.2, страница 38.

7.2. а) $\sqrt[3]{24}$;

б) $\sqrt[3]{54}$;

в) $\sqrt[3]{256}$;

г) $\sqrt[3]{375}$.

а)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24}$, необходимо вынести множитель из-под знака кубического корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, чтобы найти среди них такой, который является полным кубом.

Разложим число 24 на множители:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3}$.

Так как $\sqrt[3]{2^3} = 2$, выражение упрощается до:
$2 \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{54}$. Разложим число 54 на множители, один из которых является полным кубом.

Разложение числа 54 на множители:
$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Подставим разложение в выражение под корнем:
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$.

Применим свойство произведения корней:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2}$.

Так как $\sqrt[3]{3^3} = 3$, получаем:
$3 \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{256}$. Разложим подкоренное число на множители так, чтобы выделить полный куб.

Представим 256 как произведение, где один из множителей — наибольший возможный куб.
$256 = 64 \cdot 4 = 4^3 \cdot 4$.

Подставим это разложение под знак корня:
$\sqrt[3]{256} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 4}$.

Используем свойство корня от произведения:
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{4}$.

Так как $\sqrt[3]{4^3} = 4$, итоговое выражение будет:
$4 \cdot \sqrt[3]{4} = 4\sqrt[3]{4}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{4}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{375}$. Найдем множители числа 375, один из которых является полным кубом.

Разложим 375 на множители. Можно заметить, что $375 = 125 \cdot 3$. Число 125 является кубом числа 5: $125 = 5^3$.
Таким образом, $375 = 5^3 \cdot 3$.

Подставим разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3}$.

Применим свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3}$.

Так как $\sqrt[3]{5^3} = 5$, получаем:
$5 \cdot \sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{3}$