Номер 6.31, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.31, страница 38.

6.31. Докажите, что $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$, если $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $g(x) = \sqrt[6]{x}$.

Для того чтобы доказать равенство $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$, преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя заданные функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = \sqrt[6]{x}$.

1. Преобразование левой части равенства.

Начнем с выражения $2\sqrt{f(x)}$. Подставим в него определение функции $f(x)$:

$2\sqrt{f(x)} = 2\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Применяя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ (где для квадратного корня $n=2$, а для кубического $m=3$), получим:

$2\sqrt{\sqrt[3]{x}} = 2\sqrt[2 \cdot 3]{x} = 2\sqrt[6]{x}$

Таким образом, левая часть тождества равна $2\sqrt[6]{x}$.

2. Преобразование правой части равенства.

Теперь рассмотрим выражение $g(64x)$. Подставим в функцию $g(x)$ аргумент $64x$:

$g(64x) = \sqrt[6]{64x}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[6]{64x} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{x}$

Вычислим значение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $64 = 2^6$, то:

$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$2 \cdot \sqrt[6]{x}$

3. Заключение.

Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $2\sqrt[6]{x}$.

$2\sqrt[6]{x} = 2\sqrt[6]{x}$

Следовательно, равенство $2\sqrt{f(x)} = g(64x)$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.