Номер 6.27, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.27, страница 38.

Решите уравнение:

○6.27. a) $ -\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}; $

б) $ \sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6. $

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{5x}$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$\frac{1}{2}y + 13 + \frac{y}{5} = 2y$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числовое значение — в другую:

$13 = 2y - \frac{1}{2}y - \frac{1}{5}y$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 10:

$13 = \frac{20y}{10} - \frac{5y}{10} - \frac{2y}{10}$

$13 = \frac{20y - 5y - 2y}{10}$

$13 = \frac{13y}{10}$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{13 \cdot 10}{13}$

$y = 10$

Теперь, когда мы нашли $y$, вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$\sqrt[3]{5x} = 10$

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{5x})^3 = 10^3$

$5x = 1000$

Найдем $x$:

$x = \frac{1000}{5}$

$x = 200$

Ответ: $x=200$

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

Так как в уравнении присутствует корень четвертой степени (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, область допустимых значений для $x$ определяется неравенством $x \ge 0$.

Упростим радикалы, вынеся множители из-под знака корня. Для этого представим числа 32 и 162 в виде произведения, где один из множителей является четвертой степенью целого числа.

$\sqrt[4]{32x} = \sqrt[4]{16 \cdot 2x} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2x} = 2\sqrt[4]{2x}$

$\sqrt[4]{162x} = \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2x} = 3\sqrt[4]{2x}$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2x} + 2\sqrt[4]{2x} + 3\sqrt[4]{2x} = 6$

Сложим коэффициенты при одинаковых радикалах в левой части уравнения:

$(1 + 2 + 3)\sqrt[4]{2x} = 6$

$6\sqrt[4]{2x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\sqrt[4]{2x} = 1$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{2x})^4 = 1^4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Найденный корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \ge 0$).

Ответ: $x=\frac{1}{2}$