Номер 6.23, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.23, страница 37.

6.23. a) $\sqrt{5};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}};$

в) $\sqrt[3]{\sqrt{2}};$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{4}}.$

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{\sqrt{5}}$, используется свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В данном выражении оба корня являются квадратными, то есть их показатели равны 2.
Применим это свойство: показатель внешнего корня $m=2$, показатель внутреннего корня $n=2$.
$\sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5}$

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}}$, используя то же свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Здесь показатель внешнего корня (кубического) $m=3$, а показатель внутреннего корня (пятой степени) $n=5$.
Перемножаем показатели корней и получаем:
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}} = \sqrt[3 \cdot 5]{4} = \sqrt[15]{4}$.
Ответ: $\sqrt[15]{4}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$. Снова применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Показатель внешнего корня $m=3$, показатель внутреннего корня (квадратного) $n=2$.
Выполняем умножение показателей:
$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2} = \sqrt[6]{2}$.
Ответ: $\sqrt[6]{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$. Показатель внешнего корня (квадратного) $m=2$, показатель внутреннего корня (кубического) $n=3$.
Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$, получаем:
$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.
Заметим, что подкоренное выражение $4$ можно представить как $2^2$.
$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2}$.
Теперь воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель (в данном случае на 2).
$\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$