Номер 6.26, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.26, страница 37.

6.26. Вынесите переменные из-под знака корня:

а) $\sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5};$

б) $\sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}}.$

а) $ \sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5} $

Для решения задачи сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Так как корень четной степени (в данном случае 4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. Для первого члена $ \sqrt[4]{a^6b^9} $ должно выполняться условие $ a^6b^9 \ge 0 $. Поскольку $ a^6 = (a^3)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ a $, знак выражения определяется множителем $ b^9 $. Следовательно, $ b^9 \ge 0 $, что означает $ b \ge 0 $.

2. Для второго члена $ \sqrt[4]{-a^7b^5} $ должно выполняться условие $ -a^7b^5 \ge 0 $, что равносильно $ a^7b^5 \le 0 $. Учитывая, что из первого условия $ b \ge 0 $ (и, соответственно, $ b^5 \ge 0 $), для выполнения неравенства $ a^7b^5 \le 0 $ необходимо, чтобы $ a^7 \le 0 $. Это означает, что $ a \le 0 $.

Таким образом, ОДЗ для всего выражения: $ a \le 0 $ и $ b \ge 0 $.

Теперь упростим каждое слагаемое, вынося переменные из-под знака корня с учетом ОДЗ.

Первое слагаемое: $ \sqrt[4]{a^6b^9} $
Представим подкоренное выражение в виде произведения степеней, кратных 4:
$ \sqrt[4]{a^6b^9} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt[4]{(a \cdot b^2)^4 \cdot a^2b} $
Выносим множитель $ (ab^2)^4 $ из-под корня. Для корня четной степени $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $.
$ |ab^2|\sqrt[4]{a^2b} $
Раскроем модуль, учитывая ОДЗ ($ a \le 0 $, $ b \ge 0 $). Так как $ b^2 \ge 0 $, то произведение $ ab^2 \le 0 $. Следовательно, $ |ab^2| = -ab^2 $.
Первый член равен $ -ab^2\sqrt[4]{a^2b} $.

Второе слагаемое: $ \sqrt[4]{-a^7b^5} $
Представим подкоренное выражение аналогичным образом:
$ \sqrt[4]{-a^7b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot b^4 \cdot (-a^3b)} = |ab|\sqrt[4]{-a^3b} $
Раскроем модуль $ |ab| $. Так как $ a \le 0 $ и $ b \ge 0 $, их произведение $ ab \le 0 $. Следовательно, $ |ab| = -ab $.
Второй член равен $ -ab\sqrt[4]{-a^3b} $. (Проверим знак оставшегося подкоренного выражения $ -a^3b $: так как $ a \le 0 $, то $ a^3 \le 0 $ и $ -a^3 \ge 0 $. Учитывая $ b \ge 0 $, получаем $ -a^3b \ge 0 $, так что выражение корректно).

Результат:
Подставляем упрощенные выражения обратно в исходное:
$ \sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5} = (-ab^2\sqrt[4]{a^2b}) - (-ab\sqrt[4]{-a^3b}) = -ab^2\sqrt[4]{a^2b} + ab\sqrt[4]{-a^3b} $.

Ответ: $ -ab^2\sqrt[4]{a^2b} + ab\sqrt[4]{-a^3b} $.

б) $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $

Определим ОДЗ. Оба корня имеют четную степень, поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. Для $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} $: $ -l^7m^{12} \ge 0 $. Поскольку $ m^{12} = (m^6)^2 \ge 0 $, то при $ m \ne 0 $ должно выполняться $ -l^7 \ge 0 $, или $ l^7 \le 0 $, что означает $ l \le 0 $.

2. Для $ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $: $ -l^4m^{15} \ge 0 $. Поскольку $ l^4 = (l^2)^2 \ge 0 $, то при $ l \ne 0 $ должно выполняться $ -m^{15} \ge 0 $, или $ m^{15} \le 0 $, что означает $ m \le 0 $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ для всего выражения: $ l \le 0 $ и $ m \le 0 $.

Теперь упростим каждое слагаемое с учетом ОДЗ.

Первое слагаемое: $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} $
$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} = \sqrt[6]{l^6 \cdot m^{12} \cdot (-l)} = \sqrt[6]{(l \cdot m^2)^6 \cdot (-l)} = |lm^2|\sqrt[6]{-l} $
Раскроем модуль $ |lm^2| $. Так как $ l \le 0 $ и $ m^2 \ge 0 $, то $ lm^2 \le 0 $. Следовательно, $ |lm^2| = -lm^2 $.
Первый член равен $ -lm^2\sqrt[6]{-l} $.

Второе слагаемое: $ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $
$ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} = \sqrt[4]{l^4 \cdot m^{12} \cdot (-m^3)} = \sqrt[4]{(l \cdot m^3)^4 \cdot (-m^3)} = |lm^3|\sqrt[4]{-m^3} $
Раскроем модуль $ |lm^3| $. Так как $ l \le 0 $ и $ m \le 0 $ ($ \implies m^3 \le 0 $), то их произведение $ lm^3 \ge 0 $. Следовательно, $ |lm^3| = lm^3 $.
Второй член равен $ lm^3\sqrt[4]{-m^3} $. (Проверим знак $ -m^3 $: так как $ m \le 0 \implies m^3 \le 0 \implies -m^3 \ge 0 $, выражение корректно).

Результат:
Складываем упрощенные выражения:
$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}} = -lm^2\sqrt[6]{-l} + lm^3\sqrt[4]{-m^3} $.

Ответ: $ -lm^2\sqrt[6]{-l} + lm^3\sqrt[4]{-m^3} $.