Номер 6.20, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.20, страница 37.

6.20. a) $\sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}$;

б) $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$;

В) $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$;

Г) $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьший общий показатель для корней 3-й и 6-й степени — это 6.
Приведем первый множитель $\sqrt[3]{ab}$ к показателю 6. Для этого и показатель корня, и показатель подкоренного выражения умножим на 2:
$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} = \sqrt[6]{a^2b^2}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем 6:
$\sqrt[6]{a^2b^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{(a^2b^2) \cdot (4ab)}$.
Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{4 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt[6]{4a^{2+1}b^{2+1}} = \sqrt[6]{4a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 5 и 10 равно 10.
Преобразуем первый множитель $\sqrt[5]{a^4b^3}$, приведя его к показателю 10:
$\sqrt[5]{a^4b^3} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} = \sqrt[10]{a^{4 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}} = \sqrt[10]{a^8b^6}$.
Теперь умножим корни с одинаковым показателем:
$\sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{(a^8b^6) \cdot (a^5b^2)}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[10]{a^{8+5}b^{6+2}} = \sqrt[10]{a^{13}b^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^{13}$ как $a^{10} \cdot a^3$. При условии, что $a \ge 0$:
$\sqrt[10]{a^{10} \cdot a^3 \cdot b^8} = \sqrt[10]{a^{10}} \cdot \sqrt[10]{a^3b^8} = a\sqrt[10]{a^3b^8}$.
Ответ: $a\sqrt[10]{a^3b^8}$.

в) Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 3 равно 6.
Преобразуем второй множитель $\sqrt[3]{5a^3b^4}$, приведя его к показателю 6:
$\sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{5^2 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2}} = \sqrt[6]{25a^6b^8}$.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8} = \sqrt[6]{(5ab^2) \cdot (25a^6b^8)}$.
Упростим выражение под корнем:
$\sqrt[6]{(5 \cdot 25) \cdot a^{1+6} \cdot b^{2+8}} = \sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.
Вынесем множители из-под знака корня. Представим $a^7 = a^6 \cdot a$ и $b^{10} = b^6 \cdot b^4$. При условии, что $a \ge 0, b \ge 0$:
$\sqrt[6]{125 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b^4} = \sqrt[6]{a^6b^6} \cdot \sqrt[6]{125ab^4} = ab\sqrt[6]{125ab^4}$.
Ответ: $ab\sqrt[6]{125ab^4}$.

г) Найдем наименьший общий показатель для 8 и 6. Наименьшее общее кратное чисел 8 и 6 равно 24.
Приведем оба множителя к корню с показателем 24.
Для первого множителя: $\sqrt[8]{6xz} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} = \sqrt[24]{6^3x^3z^3} = \sqrt[24]{216x^3z^3}$.
Для второго множителя: $\sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{x^4(z^5)^4} = \sqrt[24]{x^4z^{20}}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\sqrt[24]{216x^3z^3} \cdot \sqrt[24]{x^4z^{20}} = \sqrt[24]{(216x^3z^3) \cdot (x^4z^{20})}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[24]{216 \cdot x^{3+4} \cdot z^{3+20}} = \sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.
Поскольку степени всех множителей под корнем (у 216 степень 1, если рассматривать как $216^1$, или степень 3, если как $6^3$) меньше показателя корня 24, дальнейшее упрощение (вынесение множителей) невозможно.
Ответ: $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.