Номер 6.17, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.17, страница 37.

6.17. Сравните числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшим общим кратным для показателей 4 и 2 является 4.

Представим $\sqrt{5}$ как корень четвертой степени:
$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4]{25}$.

Теперь сравним $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt[4]{25}$. Поскольку функция $y = \sqrt[n]{x}$ (при $x \ge 0$) является возрастающей, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $26 > 25$, то $\sqrt[4]{26} > \sqrt[4]{25}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

б) Сравним числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$. Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 2 равно 6.

Приведем оба корня к шестой степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$
$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

Сравниваем $\sqrt[6]{25}$ и $\sqrt[6]{27}$. Поскольку $25 < 27$, то $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$. Общий показатель корня для них 6.

Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}$.

Теперь сравним $\sqrt[6]{49}$ и $\sqrt[6]{47}$. Так как $49 > 47$, то $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{47}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

г) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$, сначала сравним их положительные модули: $\sqrt[4]{4}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Преобразуем оба числа:
$\sqrt[4]{4} = \sqrt[12]{4^3} = \sqrt[12]{64}$
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{81}$

Сравниваем $\sqrt[12]{64}$ и $\sqrt[12]{81}$. Поскольку $64 < 81$, то $\sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81}$, а значит $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: если $a < b$ (где $a, b > 0$), то $-a > -b$.

Следовательно, $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.