Номер 6.30, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.30, страница 38.

6.30. Докажите, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Чтобы доказать тождество $2f(x) = f(32x)$ при $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства, используя определение функции, а также свойства степеней и корней.

Преобразование левой части: $2f(x)$

Подставим данное выражение для $f(x)$ в левую часть равенства:

$2f(x) = 2 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=1$ и $n=\sqrt[5]{x}$, получаем:

$2f(x) = 2^{1} \cdot 2^{\sqrt[5]{x}} = 2^{1+\sqrt[5]{x}}$

Преобразование правой части: $f(32x)$

Для нахождения $f(32x)$ подставим $32x$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(32x) = 2^{\sqrt[5]{32x}}$

Используя свойство корней $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, преобразуем выражение в показателе степени:

$\sqrt[5]{32x} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x}$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Подставим это значение обратно в выражение для $f(32x)$:

$f(32x) = 2^{2 \cdot \sqrt[5]{x}} = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Сравнение левой и правой частей

Теперь сравним полученные выражения для левой и правой частей:

Левая часть: $2f(x) = 2^{1+\sqrt[5]{x}}$

Правая часть: $f(32x) = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Чтобы исходное равенство было верным, должно выполняться равенство их показателей степеней:

$1+\sqrt[5]{x} = 2\sqrt[5]{x}$

Вычтем $\sqrt[5]{x}$ из обеих частей уравнения:

$1 = 2\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x}$

$1 = \sqrt[5]{x}$

Возведя обе части в пятую степень, находим $x$:

$x = 1^5 = 1$

Вывод

Равенство $2f(x) = f(32x)$ выполняется только при $x=1$, но не является тождеством для всех $x$ из области определения функции. Следовательно, утверждение, которое требуется доказать, в общем виде неверно.

Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка. Например, тождество было бы верным, если бы функция была $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$, или если бы доказываемое равенство имело вид $(f(x))^2 = f(32x)$.

Ответ: Утверждение $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$ не является тождеством, так как оно справедливо только при $x=1$.